数学必修 第一册4.4 对数函数复习练习题

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数

4.4.3不同函数增长的差异练习题

学校:___________姓名：___________班级：___________

一、单选题

1．下列函数中，增长速度最快的是（    ）

A． B． C． D．

2．函数零点的个数为（    ）

A．4 B．3 C．2 D．0

3．函数的图象大致是(    )

A． B．

C． D．

4．十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为（    ）（提示：）

A．93.8万亿元 B．97万亿元 C．99.9万亿元 D．106.39万亿元

5．函数的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

6．下列图象中，不可能是的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

7．某学校开展研究性学习活动，一组同学获得了下面的一组试验数据.

现有如下5个模拟函数：

①；②；③；④．

请从中选择一个模拟函数，使它比较近似地反映这些数据的规律（    ）A．①              B．②

C．③ D．④

二、填空题

8．旅行社为某旅游团租飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅游团的人数多于35人，则给予优惠，每多1人，机票每张少收10元，但旅游团的人数不超过60人．设该旅游团的人数为人，飞机票总费用为元，旅行社从飞机票中获得的利润为元，当旅游团的人数_____________时，旅行社从飞机票中可获得最大利润．

三、解答题

9．函数的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．

10．2020年11月24日4时30分，长征五号遥五运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，顺利将嫦娥五号探测器送入预定轨道．探测器实施2次轨道修正，2次近月制动后，顺利进入环月轨道，于12月1日23时11分在月球正面预选区域成功着陆，并开展采样工作．12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，实现了中国首次月球无人采样返回，助力月球成因和演化历史等科学研究．某同学为祖国的航天事业取得的成就感到无比自豪，同时对航天知识产生了浓厚的兴趣．通过查阅资料，他发现在不考虑气动阻力和地球引力等造成的影响时，单级火箭的最大速度V（单位：km/s）满足，其中W（单位：km/s）表示它的发动机的喷射速度，m（单位：t）表示它装载的燃料质量，M（单位：t）表示它自身的质量（不包括燃料质量）．

(1)某单级火箭自身的质量为50t，发动机的喷射速度为3 km/s，当它装载100 t燃料时，求该单级火箭的最大速度（精确到0.1 km/s）．

(2)根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9．如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2 km/s，该单级火箭的最大速度能否超过7.9 km/s？

（参考数据：…，）

11．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观测站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y现有连续6年的实测资料，如下表所示：

（1）描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像；

（2）建立一个基本反映灌溉面积关于最大积雪深度的函数模型；

（3）根据所建立的函数模型，问：若今年最大积雪深度用25cm来估算，可以灌溉土地多少公顷？

12．下表是弹簧伸长长度（单位：）与拉力（单位：）的相关数据：

描点画出弹簧伸长长度随拉力变化的图像，并写出一个能基本反映这一变化现象的函数解析式．

参考答案：

1．A

【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断.

【详解】是指数函数，是幂函数，是对数函数， 是一次函数，

因为当足够大时，指数函数增长速度最快，

故选：A

2．A

【分析】由，得，则将函数零点的个数转化为图象的交点的个数，画出两函数的图象求解即可

【详解】由，得，

所以函数零点的个数等于图象的交点的个数，

函数的图象如图所示，

由图象可知两函数图象有4个交点，

所以有4个零点，

故选：A

3．B

【分析】根据f(x)的零点和时函数值变化情况即可判断求解．

【详解】由得或2，故排除选项A；

当时，函数值无限靠近x轴，但与x轴不相交，只有选项B满足．

故选：B．

4．C

【分析】依题意可得2020年的国内生产总值约为从而计算可得；

【详解】解：依题意可得2020年的国内生产总值约为

故选：C

【点睛】本题考查指数函数的应用，属于基础题.

5．D

【分析】根据函数的奇偶性可排除AC；再根据的大小即可排除B，即可得解.

【详解】解：，所以函数为奇函数，故排除AC；

又，排除B.

故选：D.

6．B

【分析】利用特殊值，分类讨论，借助反比例函数、对勾函数的图象与性质以及函数单调性的性质进行排除.

【详解】当a＝0时，，为反比例函数，对应A中图象，故A错误；

当时，是对勾函数，函数为奇函数，且时，在上单调递减，在上单调递增，对应D中图象，故D错误；

当时，为奇函数，且时，，均单调递减，故在单调递减，对应C中图象，故C错误.

故选：B.

7．D

【分析】根据表中提供的数据，可通过描点，连线，画出图象，看哪个函数的图象能接近所画图象，这个函数便可反应这些数据的规律．

【详解】解：根据表中数据，画出图象如下：

通过图象可看出，能比较近似的反应这些数据的规律．

故选：D．

8．或

【分析】根据题意，写出与的分段函数模型，进而表示出与的分段函数模型，然后根据二次函数的性质求解最大值.

【详解】解析：依题意，得则旅行社的利润当且时，；当且时，，当或时，最大，最大为18060．综上，当或时，旅行社可获最大利润．

【点睛】利用分段函数模型解决实际问题的策略：对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小；在求解最值时，一般可利用函数的性质求解，也可以利用基本不等式计算.

9．见解析

【分析】由题意结合函数图像分别讨论函数在点1，a，b，c，d，e时函数值的大小即可得出函数增长的差异.

【详解】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得:

曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是，

曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1，

由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；

当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；

当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；

当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．

10．(1)3.3 km/s

(2)该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s

【分析】（1）把，，，代入，即可求出结果．

（2）由，，可得，由对数的运算性质结合参考数据可知，从而求出．

(1)

由题知，，，

∴，

∴该单级火箭的最大速度约为3.3 km/s．

(2)

由题知，，∴，

∴．

∵，

∴，∴．

∴该单级火箭的最大速度不能超过7.9 km/s．

11．（1）见解析；

（2）；

（3）47.2公顷

【分析】（1）根据表中的数据，在坐标轴中描出各点即可；

（2）观察（1）中的图像，判断问题所适用的函数模型，并用待定系数法确定函数解析式；

（3）把代入（2）求得的函数解析式，求出的函数值即为答案；

【详解】解:（1）描点作图如图

（2）从图中可以看出，效据点大致都落在条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y（公顷）最大积雪深度x（crn）满足一次函数模型：，

取其中的两组数据，，代入，

得，解得.

这样我们得到一个函数模型：.

（3）由得，即当积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约47.2公顷.

【点睛】本题考查了散点图以及求直线方程，解题的关键是把表中的数据处理，构建模型，属于基础题.

12．图见解析，.

【分析】本题可结合表中数据绘出函数图像，然后令，取点、代入函数解析式进行计算，即可得出结果.

【详解】如图，结合表中数据绘出函数图像：

结合函数图像选择一次函数建立函数模型，

设函数解析式为，

取点、代入函数解析式中，

得，解得，，

故函数解析式为，经检验满足题意.