高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案设计

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

第三章　函数的概念与性质

3.1　函数的概念及其表示

3.1.1　函数的概念

【课前预习】

知识点一

非空的实数集　任意一个数x　唯一确定的数y　f:A→B　y=f(x),x∈A　取值范围A　{f(x)|x∈A}

诊断分析

1.(1)√　(2)×　(3) ×　(4)×　(5)×　[解析] (1)由定义可知其定义域就是集合A.

(2)由定义可知值域是集合B的子集.

(3)根据函数的定义,对于定义域中的任意一个数x,在值域中都有唯一确定的数y与之对应.

(4)函数的定义域和值域也可能是有限集,如f(x)=1.

(5)y=1+x2的值域为[1,+∞).

2.解:不确定,例如函数的定义域为A={-1,0,1},值域为B={0,1},则对应关系可能为f(x)=x2或f(x)=|x|.

知识点三

1.定义域　对应关系　值域

2.定义域相同　对应关系完全一致

诊断分析

解:不一定.因为定义域和值域不能确定函数的对应关系.如y=x+1与y=x-1,两个函数的定义域和值域均为实数集R,但这两个函数不是同一个函数,因为对应关系不同.

知识点四

1.R　R

2.R　a>0　yy≥　a<0　yy≤

3.(-∞,0)∪(0,+∞)　(-∞,0)∪(0,+∞)

【课中探究】

探究点一

例1　(1)B　 (2)ABC　[解析] (1)A中,因为当0<x≤2时,在N中无元素与之对应,所以A不符合题意;B中,对于集合M中的任意一个数,在N中都有唯一的数与之对应,并且对于N中任意一个数,在集合M中都能找到一个与之对应的数,所以B符合题意;C中,当-2≤x<2时,在N中有两个数与之对应,所以C不符合题意;D中,对于M中的任意一个数,在N中都有唯一的数与之对应,但对于N中的元素2,在集合M中没有与之对应的数,所以D不符合题意.故选B.

(2)对于A选项,集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与它对应,能够构成从集合A到集合B的函数;对于B选项,集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与它对应,能够构成从集合A到集合B的函数;对于C选项,集合A中的每一个数在集合B中都有唯一的数与它对应,能够构成从集合A到集合B的函数;对于D选项,集合A中的部分元素在集合B中没有元素与它对应,不能构成从集合A到集合B的函数.故选ABC.

探究点二

例2　(1)A　(2)(-1,2]　[解析] (1)要使函数y=有意义,则解得-2≤x<-1,所以函数y=的定义域是[-2,-1).故选A.

(2)由题意可得解得-1<x≤2,故f(x)的定义域为(-1,2].

变式　(1)B　(2)D　(3)B　[解析] (1)由题意可知所以所以f(x)的定义域为-∞,-∪-,,故选B.

(2)由题意可知解得0≤x≤1.故选D.

(3)∵函数f(x)=的定义域为R,∴对任意实数x,都有ax2+2ax+1≥0成立.当a=0时,1≥0显然成立;当a≠0时,需满足解得0<a≤1.综上,实数a的取值范围是[0,1].

拓展　(1)C　(2)C　(3)B　[解析] (1)∵y=f(x)的定义域是[-2,3],∴令-2≤2x-1≤3,解得-≤x≤2,∴y=f(2x-1)的定义域是-,2.故选C.

(2)∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2,3],即-2≤x≤3,∴-1≤x+1≤4,即函数y=f(x)的定义域是[-1,4].令-1≤x2≤4,∵x2≥0,∴0≤x2≤4,解得-2≤x≤2,∴y=f(x2)的定义域是[-2,2].故选C.

(3)由题意得解得-1≤x<1.故选B.

探究点三

例3　解:(1)∵f(x)=,∴f(2)==.

∵g(x)=x2+2,∴g(2)=22+2=6.

(2)f[g(2)]=f(6)==.

(3)∵f(x)=的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞),

∴f(x)的值域是(-∞,0)∪(0,+∞).

∵g(x)=x2+2的定义域为R,最小值为2,

∴g(x)的值域是[2,+∞).

变式　解:(1)(观察法)∵x∈{1,2,3,4,5},∴函数的值域为{2,3,4,5,6}.

(2)(直接法)∵≥0,∴-1≥-1,∴y=-1的值域为[-1,+∞).

(3)(分离常数法)∵y==1-,且其定义域为{x|x≠-1},∴≠0,即y≠1,

∴函数y=的值域为{y|y∈R,且y≠1}.

(4)(配方法)y=x2-4x+6=(x-2)2+2,∵1≤x≤5,∴由函数图像(图略)可知y∈[2,11].

(5)(换元法)设t=,则t≥0,且x=t2+1,∴y=2(t2+1)-t=2t-2+,由t≥0,结合函数的图像(图略)可得原函数的值域为,+∞.

探究点四

例4　(1)A　(2)C　[解析] (1)对于A,y=|x|和u=的定义域都是R,对应关系也相同,是同一个函数;对于B,y=的定义域为R,s=()2的定义域为[0,+∞),定义域不同,不是同一个函数;对于C,y=的定义域为{x|x≠1},m=n+1的定义域为R,定义域不同,不是同一个函数;对于D,y=·的定义域为{x|x≥1},y=的定义域为{x|x≤-1或x≥1},定义域不同,不是同一个函数.故选A.

(2)①f(x)=与g(x)=x的定义域都是{x|x≤0},而f(x)==-x,这两个函数的对应关系不同,故这两个函数不是同一个函数,①错误;

②f(x)=x与g(x)=的定义域都是R,但g(x)==|x|,这两个函数的对应关系不同,故这两个函数不是同一个函数,②错误;

③f(x)=x0与g(x)=的定义域都是{x|x≠0},并且f(x)=g(x)=1,这两个函数的对应关系也相同,故这两个函数是同一个函数,③正确;

④f(x)=x2-2x-1与g(t)=t2-2t-1的定义域和对应关系都相同,故这两个函数是同一个函数,④正确.故选C.

(3)解:不是同一个函数.对于函数y=·,

由解得x≥1,故定义域为{x|x≥1}.

对于函数y=,

由(x+1)(x-1)≥0,解得x≥1或x≤-1,

故定义域为{x|x≥1或x≤-1}.显然两个函数的定义域不同,故不是同一个函数.

变式　解:(1)不是同一个函数.虽然两个函数的对应关系相同,但是前者的定义域为(0,20),后者的定义域为R.

(2)是同一个函数,两个函数的定义域相同,对应关系也相同,故是同一个函数.

【课堂评价】

1.A　[解析] 易知①正确,②错误;根据函数的定义知,对于不同的x,y可以相同,例如f(x)=1,故③错误.故选A.

2.D　[解析] 要使f(x)有意义,只需即x≤且x≠0,故选D.

3.A　[解析] ①②③中函数的定义域均为R,而④中函数的定义域为{x|x≠0},故选A.

4.B　[解析] 由每一个自变量x对应唯一一个y可知,②不是函数图像,①③④是函数图像.

5.[0,2)∪(2,+∞)　[解析] 要使函数y=有意义,只需x≠2,即A=(-∞,2)∪(2,+∞).易知y=≥0,即B=[0,+∞),则A∩B=[0,2)∪(2,+∞).