高中数学2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第1课时学案及答案

2021-2022（上） 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA（新教材）

2.3　二次函数与一元二次方程、不等式

第1课时　二次函数与一元二次方程、不等式

【课前预习】

知识点一

1.一个　2　ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0

知识点二

实数x

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　[解析] (1)因为a2+1>0,所以该不等式是一元二次不等式.

(2)当m=0时,原不等式为2x-3<0,所以m2x+2x-3<0不是关于x的一元二次不等式.

(3)因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式x2-2x+3>0的解集是R.

(4)因为x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以不等式x2-2x+1≤0的解集是{1}.

(5)令x2-x-6=0,解得x=-2或x=3,所以二次函数y=x2-x-6的零点为-2,3.

知识点三

{x|x<x1或x>x2}　xx≠-　R　{x|x1<x<x2}　⌀　⌀

诊断分析

(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　[解析] (1)由Δ=(-1)2-4×1×(-2)=9>0,知函数y=x2-x-2的图像与x轴有两个不同交点.

(2)由(-2a)2-4(a2+1)=-4<0,知方程x2-2ax+(a2+1)=0没有实数根.

(3)当a>0时,解集为{x|x1<x<x2},当a<0时,解集为{x|x<x1或x>x2}.

(4)若一元二次方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀.

【课中探究】

探究点一

探索 解:方程x2-x-6=0的解是x=-2或x=3;不等式x2-x-6>0的解集是{x|x<-2或x>3};不等式x2-x-6<0的解集是{x|-2<x<3}.

例1　解:(1)方程x2-5x-6=0的两根为x1=-1,x2=6.

结合二次函数y=x2-5x-6的图像(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}.

(2)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0,

方程(x-2)(x+3)=0的两根为x1=2,x2=-3.

结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图像(图略)知,原不等式的解集为{x|x<-3或x>2}.

(3)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,

即9x2-12x+4>0,

解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2=.

结合二次函数y=9x2-12x+4的图像(图略)知,原不等式的解集为xx≠.

变式　(1)A　(2)D　(3){x|-2≤x<1或2<x≤5}　[解析] (1)因为-3x2-2x+1>0,即3x2+2x-1<0,所以(3x-1)(x+1)<0,解得-1<x<,所以原不等式的解集为x-1<x<,故选A.

(2)解不等式x2-x-2<0,得-1<x<2,∵不等式x2-x-2<0成立的一个充分不必要条件是a<x<a2+1,∴{x|a<x<a2+1}⫋{x|-1<x<2},则且a≥-1与a2+1≤2的等号不同时成立,∴-1<a≤1,即a的取值范围为-1<a≤1,故选D.

(3)原不等式组等价于不等式①可化为x2-3x+2>0,解得x>2或x<1;不等式②可化为x2-3x-10≤0,解得-2≤x≤5.故原不等式的解集为{x|-2≤x<1或2<x≤5}.

探究点二

例2　解:不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.

①当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)x-<0,根据不等式的性质知,这个不等式等价于(x-2)x-<0.因为方程(x-2)x-=0的两个根分别是2,,所以当0<a<时,2<,则原不等式的解集是x2<x<;

当a=时,原不等式的解集是⌀;

当a>时,<2,则原不等式的解集是x<x<2.

②当a=0时,原不等式为-(x-2)<0,解得x>2,即原不等式的解集是{x|x>2}.

③当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)x-<0,根据不等式的性质知,这个不等式等价于(x-2)x->0,由于<2,

故原不等式的解集是xx<或x>2.

综上所述,当a<0时,不等式的解集是xx<或x>2;

当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};

当0<a<时,不等式的解集为x2<x<;

当a=时,不等式的解集为⌀;

当a>时,不等式的解集为x<x<2.

变式　解:原不等式可化为(x-2a)(x+a)<0,对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a.

①当2a>-a,即a>0时,不等式的解集为{x|-a<x<2a};

②当2a=-a,即a=0时,原不等式可化为x2<0,无解;

③当2a<-a,即a<0时,不等式的解集为{x|2a<x<-a}.

综上所述,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a};当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.

探究点三

例3　解:(1)由题意知,1-a<0,且-3和1是方程(1-a)x2-4x+6=0的两根,

∴解得a=3.

(2)由(1)知a=3,故原不等式变为(x-3)(x+b)≤0.

若-b<3,即b>-3,则不等式的解为-b≤x≤3;

若-b=3,即b=-3,则不等式的解为x=3;

若-b>3,即b<-3,则不等式的解为3≤x≤-b.

综上,当b>-3时,不等式的解集为{x|-b≤x≤3};

当b=-3时,不等式的解集为{3};

当b<-3时,不等式的解集为{x|3≤x≤-b}.

变式　(1)B　(2)D　[解析] (1)∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|1<x<3},∴a<0,且1,3是方程ax2+bx+c=0的两根,由根与系数的关系可得1+3=-,1×3=,∴=-4,=3.由关于x的不等式cx2+bx+a>0两边同时除以a,得x2+x+1<0,∴不等式变为3x2-4x+1<0,解得<x<1,∴不等式cx2+bx+a>0的解集为x<x<1.故选B.

(2)因为函数y=ax2+2bx-c(a>0)的图像与x轴交于A(2,0),B(6,0)两点,所以2和6是方程ax2+2bx-c=0的两个实数根,由根与系数的关系得解得所以不等式cx2+2bx-a<0即为-12ax2-8ax-a<0.因为a>0,所以不等式可化为12x2+8x+1>0,解得x<-或x>-,所以不等式的解集为xx<-或x>-,故选D.

拓展　解:(1)∵关于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有两个实数根x1,x2,

∴x1+x2=-,x1x2=,

则(1+x1)(1+x2)=1+x1+x2+x1·x2=1-+=1.

(2)证明:由Δ≥0,得a≤,

∴二次函数y=ax2+x+1图像的对称轴方程为x=-<-1,

∵当x=-1时,y=a>0,

∴二次函数y=ax2+x+1的图像与x轴的交点均位于点(-1,0)的左侧,

故x1<-1且x2<-1.

【课堂评价】

1.D　[解析] 由x2≥2x得x(x-2)≥0,所以x≤0或x≥2.故选D.

2.B　[解析] x2-2x-8<0⇔(x+2)(x-4)<0,解得-2<x<4,所以A={x|-2<x<4}.|x-2|<3⇔-3<x-2<3,解得-1<x<5,所以B={x|-1<x<5}.故A∩B={x|-1<x<4}.故选B.

3.A　[解析] 不等式(a-x)x->0可化为(x-a)x-<0,因为0<a<1,所以a<,故解集是xa<x<.

4.A　[解析] ∵ax2-bx-1≥0的解集为x-≤x≤-,∴a<0,且方程ax2-bx-1=0的两根为-和-,∴

解得∴不等式x2-bx-a<0为x2-5x+6<0,解得2<x<3,∴不等式x2-bx-a<0的解集为{x|2<x<3},故选A.

5.m≥2　[解析] 因为关于x的不等式-2x2+mx-1≥0(m>0)有实数根,所以m2-4×(-2)×(-1)≥0,解得m≤-2或m≥2,又m>0,所以m的取值范围是m≥2.