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![3.2.1 第1课时 函数的单调性 学案02](http://img-preview.51jiaoxi.com/3/3/14004463/1/1.jpg?x-oss-process=image/resize,w_794,m_lfit,g_center/sharpen,100)
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- 3.1.1 函数的概念 学案 学案 0 次下载
- 3.1.2 第1课时 函数的表示法 学案 学案 0 次下载
- 3.2.1 第2课时 利用单调性求最值 学案 学案 0 次下载
- 3.2.2 第1课时 奇偶性的概念 学案 学案 0 次下载
- 3.3 幂函数 学案 学案 0 次下载
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质第1课时导学案
展开2021-2022(上) 全品学练考 高中数学 必修第一册 RJA(新教材)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
【课前预习】
知识点一
f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 上升的 下降的
诊断分析
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√ [解析] (1)应该为∀x1,x2∈D,当x1<x2时,有f(x1)<f(x2),那么f(x)在区间D上单调递增.
(2)f(x)=在区间(0,+∞)和(-∞,0)上单调递减.
(3)因为f(x)是R上的减函数,且-3<2,所以f(-3)>f(2).
(4)易知正确.
2.解:是.若(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]>0,则x2-x1与f(x2)-f(x1)同号,即x2>x1时,f(x2)>f(x1),当x2<x1时,f(x2)<f(x1),所以f(x)在D上单调递增.同理由(x2-x1)[f(x2)-f(x1)]<0,可得f(x)在D上单调递减.
知识点二
单调性 单调区间
诊断分析
(1)× (2)× [解析] (1)函数f(x)也可能有其他的单调递减区间.
(2)多个单调递增区间不能用并集符号连接.
【课中探究】
探究点一
例1 解:由图像知,函数f(x)的单调递增区间为[-1.5,3),[5,6),单调递减区间为[-4,-1.5),[3,5),[6,7].
变式 (1)[-2,1),[3,5] [-5,-2),[1,3) (2)(-∞,-1),(1,+∞) [-1,0),(0,1] [解析] (1)观察图像可知f(x)的单调递减区间为[-2,1),[3,5],单调递增区间为[-5,-2),[1,3).
(2)由图像知,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),单调递减区间为[-1,0),(0,1].
拓展 解:(1)由已知得y=其图像如图所示.
由图像可得函数的单调递减区间为(-∞,-1],单调递增区间为(-1,+∞).
(2)由已知得y=(x+3)|x-1|=其图像如图所示.
由图像可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),[1,+∞),单调递减区间为[-1,1).
例2 解:依题意得,函数的定义域为{x|x≠-2},
y===1-.
因为函数y=的单调递减区间为(-∞,-2),(-2,+∞),
所以y=的单调递增区间为(-∞,-2),(-2,+∞).
变式 B [解析] 由已知得f(x)的定义域为R,f(x)=(x-2)2-1的图像的对称轴方程为x=2,故f(x)的单调递增区间为(2,+∞).
探究点二
例3 解:函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
证明:∀0<x1<x2,有f(x1)-f(x2)=-x1+--x2+=x2-x1+=(x2-x1)1+.
∵0<x1<x2,∴x2-x1>0,x1x2>0,
故f(x1)>f(x2),则函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.
变式 解:∀x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,
有f(x1)-f(x2)=-===.∵-1<0,-1<0,x1x2+1>0,x2-x1>0,
∴当a>0时,>0,
即f(x1)>f(x2),∴f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,<0,
即f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-1,1)上单调递增.
综上所述,当a>0时,f(x)在(-1,1)上单调递减;
当a<0时,f(x)在(-1,1)上单调递增.
拓展 解:函数f(x)在R上单调递减.
证明:∀x1,x2∈R,且x1<x2,
有f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-[f(x2-x1)+f(x1)-1]=1-f(x2-x1),
因为x2-x1>0,所以f(x2-x1)<1,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在R上单调递减.
探究点三
例4 (1)-∞,- (2)1, [解析] (1)因为函数f(x)=是R上的减函数,所以解得a≤-,即实数a的取值范围是-∞,-.
(2)由题意可知解得1≤t≤2.因为f(x)是定义域为[-1,1]的增函数,且f(t-2)<f(1-t),所以t-2<1-t,解得t<.故实数t的取值范围为1,.
变式 (1)D (2)C [解析] (1)由题意知,实数a满足解得0<a≤2,故实数a的取值范围为(0,2].故选D.
(2)∵>0,∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递减,又π>2,∴f(π)<f(2),即a<b,故选C.
【课堂评价】
1.C [解析] 函数y=3-x在区间(0,+∞)上单调递减.故选C.
2.A [解析] 易知函数f(x)=-x2+2x+3的图像开口向下,对称轴方程为x=1,所以f(x)的单调递增区间是(-∞,1).
3.D [解析] 由函数f(x)=(2a-1)x+b在R上是减函数,得2a-1<0,即a<.故选D.
4.D [解析] 二次函数f(x)=x2+4x+c的图像的对称轴方程为x=-2,且开口向上,所以f(x)在[-2,+∞)上单调递增,所以f(-2)<f(0)<f(1),又f(0)=c,所以f(1)>c>f(-2).
5.[-2,-1],[2,6] (-1,2) [解析] 由图像可知f(x)的单调递增区间为[-2,-1],[2,6],单调递减区间为(-1,2).
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