数学必修 第一册3.1 函数的概念及其表示学案设计

3.1.1　函数的概念

课程标准

(1)通过丰富实例，学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．(2)了解构成函数的三要素，能求简单函数的定义域．(3)能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(4)理解同一个函数的概念，能判断两个函数是否是同一个函数．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　函数的概念

要点二　同一个函数

如果两个函数的________相同，并且________完全一致，即相同的自变量对应的函数值相同，那么这两个函数是同一个函数❷.

要点三　区间及有关概念

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a<b，规定如下：

2.特殊区间的表示

助 学 批 注

批注❶　抓住两点：(1)可以“多对一”、“不可一对多”；(2)集合A中的元素无剩余，集合B中的元素可剩余．

批注❷　只有当两个函数的定义域和对应关系分别相同时，这两个函数才是同一个函数．定义域和值域都分别相同的两个函数，它们不一定是相同的函数，因为函数对应关系不一定相同．

批注❸　这里的实数a与b都叫做相应区间的端点．区间的左端点一定要小于右端点，即a <b.

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)

(2)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)

(3)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)

(4)区间是数集的另一种表示方法，任何数集都能用区间表示．(　　)

2．下列选项中(横轴表示x轴，纵轴表示y轴)，表示y是x的函数的是(　　)

　               　　A　　　 　B　　 　 　C　　 　　D

3．区间(0，1)等于 (　　)

A．{0，1}

B．{(0，1)}

C．{x|0＜x＜1}

D．{x|0≤x≤1}

4．若f(x)＝x－，则f(3)＝________．

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　函数的概念

例1　 (1)(多选)下列图形中是函数图象的是(　　)

(2)下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)

A．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f：A中的数平方

B．A＝{0，1}，B＝{－1，0，1}，f：A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积

方法归纳

1．根据图形判断对应关系是否为函数的一般步骤

2．判断一个对应关系是否为函数的方法

巩固训练1　(多选)下列对应关系是集合A到集合B的函数的是(　　)

A．A＝R，B＝{x|x≥0}，f：x→y＝|x|

B．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2

C．A＝Z，B＝Z，f：x→y＝

D．A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{0}，f：x→y＝0

题型 2　求函数值

例2　[2022·山东青岛高一期中]已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．

(1)求f(2)，g(2)的值；(2)求f(g(3))的值．

方法归纳

求函数值的2种策略

巩固训练2　已知函数f(x)＝.

(1)求f(2)；(2)求f(f(1))．

题型 3　求函数的定义域

例3　求下列函数的定义域．

(1)y＝2＋； (2)y＝；

 (3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.

方法归纳

求函数定义域的常用策略

巩固训练3　(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)

A．[－1，0)

B．[－1，＋∞)

C．(－∞，0)

D．R

(2)函数f(x)＝的定义域为________．

题型 4　同一函数的判断

例4　下面各组函数中表示同一个函数的是(　　)

A．f(x)＝x，g(x)＝()2

B．f(t)＝|t|，g(x)＝

C．f(x)＝，g(x)＝x＋1

D．f(x)＝，g(x)＝

方法归纳

判断同一函数的三个步骤和两个注意点

(1)判断同一函数的三个步骤

(2)两个注意点：

①在化简解析式时，必须是等价变形；

②与用哪个字母表示无关．

巩固训练4　下列函数中与函数y＝x2是同一函数的是(　　)

A．u＝v2    B．y＝x·|x|

C．y＝    D．y＝()4

3．1.1　函数的概念

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

实数集　任意一个数x　唯一

要点二

定义域　对应关系

要点三

1．(a，b)　(a，b]

2．(－∞，＋∞)　[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，a]　(－∞，a)

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：只有D的函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点，故选D.

答案：D

3．答案：C

4．解析：f(3)＝3－＝3－2＝1.

答案：1

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)A中至少存在一处如x＝0，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合A中至少有一个元素在集合B中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B，C，D均符合函数定义．

(2)对于选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对于选项C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对于选项D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．

答案：(1)BCD　(2)A

巩固训练1　解析：选项A中，对于A中的任意一个实数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，故是A到B的函数．

选项B中，对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与其对应，故是集合A到集合B的函数．

选项C中，集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数．

选项D中，对于集合A中任意一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数．

答案：ABD

例2　解析：(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝.又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.

(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.

巩固训练2　解析：(1)f(2)＝＝；

(2)∵f(1)＝＝；

∴f(f(1))＝f＝＝.

例3　解析：(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数y＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．

(2)要使函数有意义，需x2－2x－3≥0，即(x－3)(x＋1)≥0，所以x≥3或x≤－1，即函数的定义域为{x|x≥3或x≤－1}．

(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．

(4)函数有意义，当且仅当解得x>－1，且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．

巩固训练3　解析：(1)由，解得：x≥－1且x≠0.

∴函数f(x)＝的定义域是[－1，0)

(2)由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，

解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].

答案：(1)A　(2)[1，5]

例4　解析：对于A，f(x)＝x的定义域为R，而g(x)＝()2的定义域为[0，＋∞)，两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于B，两个函数的定义域都为R，定义域相同，g(x)＝＝|x|，这两个函数是同一个函数；对于C，f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数；对于D，f(x)＝的定义域为{x|x≠0}，而g(x)＝的定义域是R，两个函数的定义域不相同，所以不是同一个函数．

答案：B

巩固训练4　解析：函数y＝x2的定义域为R，对于A项，u＝v2的定义域为R，对应法则与y＝x2一致，则A正确；对于B项，y＝x·|x|的对应法则与y＝x2不一致，则B错误；对于C项，y＝的定义域为{x|x≠0}，则C错误；对于D项，y＝()4的定义域为{x|x≥0}，则D错误；故选A.

答案：A