数学第三章 函数概念与性质3.1 函数的概念及其表示学案设计

  3.1.1　函数的概念

最新课程标准：在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．

知识点一　函数的概念

1．函数的概念

一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y＝f(x)，x∈A.

2．函数的定义域和值域

函数y＝f(x)中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．

显然，值域是集合B的子集．

　对函数概念的3点说明

(1)当A , B为非空实数集时，符号“ f ：A→B ”表示A到B的一个函数．

(2)集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．

(3)符号“f ”表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

知识点二　区间的概念

1．区间的几何表示

2.实数集R的区间表示

实数集R可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”；“－∞”读作“负无穷大”；“＋∞”读作“正无穷大”．

3．无穷大的几何表示

　关于无穷大的2点说明

(1)“∞”是一个符号，而不是一个数．

(2)以“－∞”或“＋∞”为端点时，区间这一端必须是小括号．

知识点三　同一函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．

[教材解难]

1．教材P60思考

根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．显然，其原因是没有关注到t的变化范围．

2．教材P63思考

反比例函数y＝(k≠0)的定义域为{x|x≠0}，对应关系为“倒数的k倍”，值域为{y|y≠0}．反比例函数用函数定义叙述为：对于非空数集A＝{x|x≠0}中的任意一个x值，按照对应关系f“倒数的k(k≠0)倍”，在集合B＝{y|y≠0}中都有唯一确定的数和它对应，那么此时f：A→B就是集合A到集合B的一个函数，记作f(x)＝(k≠0)，x∈A.

3．教材P66思考

初中所学习的函数传统定义与高中的近代定义之间的异同点如下：

不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系．

相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，“变量x的每一个值”以及“集合A中的每一个数”，都有唯一一个“y值”与之对应．

[基础自测]

1．下列从集合A到集合B的对应关系f是函数的是(　　)

A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方

B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方

C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数

D．A＝{平行四边形}，B＝R，f：求A中平行四边形的面积

解析：对B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数的定义；对C，集合A中的元素0取倒数没有意义，在集合B中没有元素与之对应，不符合函数的定义；对D，A集合不是数集，故不符合函数的定义．综上，选A.

答案：A

2．函数f(x)＝的定义域为(　　)

A．(1，＋∞)　　　　　　　　B．[1，＋∞)

C．[1,2)  D．[1,2)∪(2，＋∞)

解析：使函数f(x)＝有意义，

则即x≥1，且x≠2.

所以函数的定义域为{x|x≥1且x≠2}．故选D.

答案：D

3．下列各组函数表示同一函数的是(　　)

A．y＝与y＝x＋3

B．y＝－1与y＝x－1

C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)

D．y＝x＋1，x∈Z与y＝x－1，x∈Z

解析：A中两函数定义域不同；B中两函数值域不同；D中两函数对应法则不同．

答案：C

4．用区间表示下列集合：

(1)＝________；

(2){x|x<1或2<x≤3}＝________.

解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则{x|－≤x<5}＝[－，5)．

(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“∪”，则{x|x<1或2<x≤3}＝(－∞，1)∪(2,3]．

答案：(1)　(2)(－∞，1)∪(2,3]

题型一　函数的定义[经典例题]

例1　根据函数的定义判断下列对应关系是否为从集合A到集合B的函数：

(1)A＝{1,2,3}，B＝{7,8,9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；

(2)A＝{1,2,3}，B＝{4,5,6}，对应关系如图所示；

(3)A＝R，B＝{y|y>0}，f：x→y＝|x|；

(4)A＝Z，B＝{－1,1}，n为奇数时，f(n)＝－1，n为偶数时，f(n)＝1.

【解析】　对于集合A中的任意一个值，在集合B中都有唯一

的值与之对应，因此(1)(4)中对应关系f是从集合A到集合B的一个函数．

(2)集合A中的元素3在集合B中没有对应元素，且集合A中的元素2在集合B中有两个元素(5和6)与之对应，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数．

(3)A中的元素0在B中没有对应元素，故所给对应关系不是集合A到集合B的函数.

1.从本题(1)可以看出函数f(x)的定义域是非空数集A，但值域不一定是非空数集B，也可以是集合B的子集．

2．判断从集合A到集合B的对应是否为函数，一定要以函数的概念为准则，另外也要看A中的元素是否有意义，同时，一定要注意对特殊值的分析．

方法归纳

(1)判断一个集合A到集合B的对应关系是不是函数关系的方法：①A，B必须都是非空数集；②A中任意一个数在B中必须有并且是唯一的实数和它对应．

[注意]　A中元素无剩余，B中元素允许有剩余．

(2)函数的定义中“任意一个x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”，而不能是“一对多”．

跟踪训练1　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有(　　)

A．0个　　　　　　　　B．1个

C．2个  D．3个

(2)下列对应是否是函数？

①x→，x≠0，x∈R；

②x→y，其中y2＝x，x∈R，y∈R.

解析：(1)

答案：(1)B　

1①x∈[0，1]取不到[1，2].

③y∈[0，3]超出了N∈[0，2]范围.

④可取一个x值，y有2个对应，不符合题意.

(2)①是函数．因为任取一个非零实数x，都有唯一确定的与之对应，符合函数定义．

②不是函数．当x＝1时，y＝±1，即一个非零自然数x，对应两个y的值，不符合函数的概念．

答案：(2)①是函数②不是函数

(2)关键是否符合函数定义．

题型二　求函数的定义域　[经典例题]

例2　(1)函数f(x)＝的定义域是(　　)

A.[－1,1)

B．[－1,1)∪(1，＋∞)

C．[－1，＋∞)

D．(1，＋∞)

(2)求下列函数的定义域．

①y＝＋；

②y＝.

【解析】　(1)由解得x≥－1，且x≠1.

所以所求函数的定义域为[－1,1)∪(1，＋∞)．

【答案】　(1)B　

(1)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0，列不等式组求定义域．

【解析】(2)①要使函数有意义，需满足

即

得x>－2且x≠3.

所以所求函数的定义域为(－2,3)∪(3，＋∞)．

②要使函数有意义，需满足

即

所以x>0且x≠1，

所以所求函数的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．

【答案】(2)见解析

(2)依据分式的分母不为0，二次根式的被开方数大于等于0,0的0次幂没有意义，列不等式组求定义域．

方法归纳

求函数的定义域

(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.

(2)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

跟踪训练2　求下列函数的定义域：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝－＋.

解析：(1)要使函数有意义，只需x2－3x＋2≠0，

即x≠1且x≠2，

故函数的定义域为{x|x≠1且x≠2}．

(2)要使函数有意义，则

解得x<0且x≠－1.

所以定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)．

(3)要使函数有意义，则

解得－≤x<2，且x≠0.

故定义域为∪(0,2)．

(1)分母不为0

(2)

(3)

题型三　同一函数[教材P66例3]

例3　下列函数中哪个与函数y＝x是同一个函数？

(1)y＝()2;  (2)u＝；

(3)y＝；  (4)m＝.

【解析】　(1)y＝()2＝x(x∈{x|x≥0})，它与函数y＝x(x∈R)虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．

(2)u＝＝v(v∈R)，它与函数y＝x(x∈R)不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y＝x(x∈R)是同一个函数．

(3)y＝＝|x|＝它与函数y＝x(x∈R)的定义域都是实数集R，但是当x<0时，它的对应关系与函数y＝x(x∈R)不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．

(4)m＝＝n(n∈{n|n≠0})，它与函数y＝x(x∈R)的对应关系相同但定义域不相同．所以这个函数与函数y＝x(x∈R)不是同一个函数．

教材反思

判断同一函数的三个步骤和两个注意点

(1)判断同一函数的三个步骤

(2)两个注意点：

①在化简解析式时，必须是等价变形；

②与用哪个字母表示无关．

跟踪训练3　试判断下列函数是否为同一函数．

(1)f(x)＝，g(x)＝x－1；

(2)f(x)＝，g(x)＝；

(3)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；

(4)f(x)＝|x|，g(x)＝.

解析：

判断两个函数是否为同一函数，要看三要素是否对应相同．函数的值域可由定义域及对应关系来确定，因而只要判断定义域和对应关系是否对应相同即可．

题型四　求函数的值域[经典例题]

例4　求下列函数的值域．

(1)y＝3－4x，x∈(－1,3]．

(2)y＝.

(3)y＝x2－4x＋5，x∈{1,2,3}．

(4)y＝x2－4x＋5.

【解析】　(1)因为－1<x≤3，所以－12≤－4x<4，所以－9≤3－4x<7，

所以函数y＝3－4x，x∈(－1,3]的值域是[－9,7)．

(2)因为y＝＝＝2－≠2，

所以函数y＝的值域为{y|y∈R且y≠2}．

(3)函数的定义域为{1,2,3}，

当x＝1时，y＝12－4×1＋5＝2，

当x＝2时，y＝22－4×2＋5＝1，当x＝3时，y＝32－4×3＋5＝2，

所以这个函数的值域为{1,2}，

(4)因为y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，x∈R时，(x－2)2＋1≥1，

所以这个函数的值域为[1，＋∞)．

　(1)用不等式的性质先由x∈(－1,3]求－4x的取值范围，再求3－4x的取值范围即为所求．

(2)先分离常数将函数解析式变形，再求值域．

(3)将自变量x＝1,2,3代入解析式求值，即可得值域．

(4)先配方，然后根据任意实数的平方都是非负数求值域.

方法归纳

求函数值域的常用方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．

(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．

(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域．对于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d为常数，且ac≠0)型的函数常用换元法．

(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．

跟踪训练4　求下列函数的值域：

(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；

(2)y＝＋1；

(3)y＝；

(4)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)．

解析：(1)将x＝1,2,3,4,5分别代入y＝2x＋1，计算得函数的值域为{3,5,7,9,11}．

(2)因为≥0，所以＋1≥1，

即所求函数的值域为[1，＋∞)．

(3)因为y＝＝－1＋，

所以函数的定义域为R，

因为x2＋1≥1，所以0<≤2.

所以y∈(－1,1]．

所以所求函数的值域为(－1,1]．

(4)y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4.

因为－5≤x≤－2，

所以－4≤x＋1≤－1.

所以1≤(x＋1)2≤16.

所以－12≤4－(x＋1)2≤3.

所以所求函数的值域为[－12,3]．

(3)先分离再求值域

(4)配方法求值域

一、选择题

1．下列各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　)

解析：对于1个x有无数个y与其对应，故不是y的函数．

答案：A

2．函数f(x)＝＋的定义域是(　　)

A.

B.∪

C.

D.

解析：由题意得解得－3≤x<且x≠－，故选B.

答案：B

3．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为(　　)

A．－2　　B．－1

C．0      D．不确定

解析：因为函数f(x)＝－1，

所以不论x取何值其函数值都等于－1，故f(2)＝－1.故选B.

答案：B

4．下列各组函数中，表示同一函数的是(　　)

A．y＝x＋1和y＝

B．y＝和y＝()2

C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2

D．f(x)＝和g(x)＝

解析：只有D是相同的函数，A与B中定义域不同，C是对应法则不同．

答案：D

二、填空题

5. 用区间表示下列数集．

(1){x|x≥2}＝________；

(2){x|3<x≤4}＝________；

(3){x|x>1且x≠2}＝________.

解析：由区间表示法知：(1)[2，＋∞)；

(2)(3,4]；

(3)(1,2)∪(2，＋∞)．

答案：(1)[2，＋∞)　(2)(3,4]　(3)(1,2)∪(2，＋∞)

6．函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．

解析：由f(x)的图象可知 －5≤x≤5，－2≤y≤3.

答案：[－5,5]　[－2,3]

7．若A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝________.

解析：由A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝x2＋1}，

得A＝[－1，＋∞)，B＝[1，＋∞)，

∴A∩B＝[1，＋∞)．

答案：[1，＋∞)

三、解答题

8．(1)求下列函数的定义域：

①y＝；

②y＝；

③y＝＋－；

(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．

解析：(1)①4－x≥0，即x≤4，故函数的定义域为{x|x≤4}．

②分母|x|－x≠0, 即|x|≠x，所以x<0.

故函数的定义域为{x|x<0}．

③解不等式组得

故函数的定义域是{x|1≤x≤5，且x≠3}．

(2)设矩形一边长为x，则另一边长为(a－2x)，

所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax，函数的定义域为⇒0<x<，定义域为.

9．求下列各函数的值域：

(1)y＝x＋1，x∈{2,3,4,5,6}；

(2)y＝x2－4x＋6；

(3)y＝x＋.

解析：(1)因为当x分别取2,3,4,5,6时，y＝x＋1分别取3,4,5,6,7，

所以函数的值域为{3,4,5,6,7}．

(2)函数的定义域为R.

因为y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2≥2，

所以该函数的值域为[2，＋∞)．

(3)设t＝，则x＝，且t≥0.

问题转化为求y＝＋t(t≥0)的值域．

因为y＝＋t＝(t＋1)2(t≥0)，

所以y的取值范围为.

故该函数的值域为.

[尖子生题库]

10．(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；

(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．

解析：(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函数f(x－5)的定义域是[4,10]．

(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函数f(x)的定义域是[－1,2]．