高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.1 函数的概念及其表示导学案，共11页。

3.1 函数的概念及其表示


3.1.1 函数的概念








事物都是运动变化着的，我们可以感受到它们的变化．


早晨，太阳从东方冉冉升起；





气温随时间在悄悄地改变；


小树随着时间的变化不断长高；


……


在这些变化着的现象中，都存在着两个变量，当一个变量变化时，另一个变量随之发生变化．


问题：(1)怎样用数学模型刻画两个变量之间的关系？


(2)这样的模型具有怎样的特征？


提示：(1)用时间t来刻画气温的变化．


(2)气温随着时间t的变化而变化．





1．函数的概念


思考1：(1)有人认为“y＝f(x)”表示的是“y等于f与x的乘积”，这种看法对吗？


(2)f(x)与f(a)有何区别与联系？


提示：(1)这种看法不对．


符号y＝f(x)是“y是x的函数”的数学表示，应理解为x是自变量，它是关系所施加的对象；f是对应关系，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；y是自变量的函数，当x允许取某一具体值时，相应的y值为与该自变量值对应的函数值．y＝f(x)仅仅是函数符号，不表示“y等于f与x的乘积”．在研究函数时，除用符号f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．


(2)f(x)与f(a)的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．


2．区间及有关概念


(1)一般区间的表示


设a，b是两个实数，且a

(2)特殊区间的表示


思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？


(2)“∞”是数吗？如何正确使用“∞”？


提示：(1)不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示．


(2)“∞”读作“无穷大”，是一个符号，不是数．以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时，这一端必须是小括号．


3．同一个函数


如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．





1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)


(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．( )


(2)数集{x|x≥2}可用区间表示为[2，＋∞]．( )


(3)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了．


( )


(4)函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应．


( )


(5)函数的定义域和值域一定是无限集合．( )


[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×


2．函数f(x)＝eq \r(1－x)＋eq \r(x＋3)－1的定义域为________．


{x|－3≤x≤1} [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0,x＋3≥0))，即－3≤x≤1.]


3．若f(x)＝eq \f(1,1－x2)，则f(3)＝________.


－eq \f(1,8) [f(3)＝eq \f(1,1－9)＝－eq \f(1,8).]


4．用区间表示下列集合：


(1){x|10≤x≤100}用区间表示为________；


(2){x|x>1}用区间表示为________．


(1)[10,100] (2)(1，＋∞) [结合区间的定义可知(1)为[10,100]，(2)为(1，＋∞)．]








【例1】 (1)下列对应关系是集合P上的函数的是________．


①P＝Z，Q＝N*，对应关系f：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应；


②P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，对应关系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；


③P＝{三角形}，Q＝{x|x＞0}，对应关系f：对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应．


(2)下列图形中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )





A B C D


(1)② (2)C [(1)②显然正确，由于①中的集合P中的元素0在集合Q中没有对应元素，并且③中的集合P不是数集，从而①③不正确．


(2)由函数的定义可知，选项C正确．]





(1)判断所给对应关系是否为函数的方法


①先观察两个数集A，B是否非空；


②验证对应关系下，集合A中x的任意性，集合B中y的唯一性．


(2)根据图形判断对应关系是否为函数的步骤


①任取一条垂直于x轴的直线l；


②在定义域内平行移动直线l；


③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．





eq \([跟进训练])


1．下列三个说法：


①若函数的值域只含有一个元素，则定义域也只含有一个元素；


②若f(x)＝5(x∈R)，则f(π)＝5一定成立；


③函数就是两个集合之间的对应关系．


其中正确说法的个数为( )


A．0 B．1


C．2 D．3


B [①错误．若函数的值域只含有一个元素，则定义域不一定只含有一个元素；


②正确．因为f(x)＝5，这个数值不随x的变化而变化，所以f(π)＝5；


③错误．函数就是两个非空数集之间的对应关系．]


2．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作是从A到B的函数关系的是( )


A．f：x→y＝eq \f(1,8)x B．f：x→y＝eq \f(1,4)x


C．f：x→y＝eq \f(1,2)x D．f：x→y＝x


D [对于A中的任意一个元素，在对应关系f：x→y＝eq \f(1,8)x；f：x→y＝eq \f(1,4)x；f：x→y＝eq \f(1,2)x下，在B中都有唯一的元素与之对应，故能构成函数关系．对于A中的元素8，在对应关系f：x→y＝x下，在B中没有元素与之对应，故不能构成函数关系．]





【例2】 已知函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2)，


(1)求f(－3)，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))的值；


(2)当a＞0时，求f(a)，f(a－1)的值．


[解] (1)将－3与eq \f(2,3)代入解析式，有


f(－3)＝eq \r(－3＋3)＋eq \f(1,－3＋2)＝－1；


feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))＝eq \r(\f(2,3)＋3)＋eq \f(1,\f(2,3)＋2)＝eq \r(\f(11,3))＋eq \f(3,8)＝eq \f(3,8)＋eq \f(\r(33),3).


(2)因为a＞0，所以f(a)，f(a－1)有意义．


f(a)＝eq \r(a＋3)＋eq \f(1,a＋2)；


f(a－1)＝eq \r(a－1＋3)＋eq \f(1,a－1＋2)＝eq \r(a＋2)＋eq \f(1,a＋1).





函数求值的方法


1已知fx的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得fa的值.


2求fga的值应遵循由里往外的原则.





eq \([跟进训练])


2．设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2)，


(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))．


(2)求g(f(x))．


[解] (1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.


因为g(x)＝eq \f(1,x＋2)，


所以g(a)＋g(0)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,0＋2)＝eq \f(1,a＋2)＋eq \f(1,2)(a≠－2)．


g(f(2))＝g(10)＝eq \f(1,10＋2)＝eq \f(1,12).


(2)g(f(x))＝eq \f(1,fx＋2)＝eq \f(1,2x2＋2＋2)＝eq \f(1,2x2＋4).





[探究问题]


1．已知函数的解析式，求其定义域时，能否可以对其先化简再求定义域？


提示：不可以．如f(x)＝eq \f(x＋1,x2－1).倘若先化简，则f(x)＝eq \f(1,x－1)，从而定义域与原函数不等价．


2．若函数y＝f(x＋1)的定义域是[1,2]，这里的“[1,2]”是指谁的取值范围？函数y＝f(x)的定义域是什么？


提示：[1,2]是自变量x的取值范围．


函数y＝f(x)的定义域是x＋1的范围[2,3]．


【例3】 求下列函数的定义域：


(1)f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)；


(2)f(x)＝(x－1)0＋eq \r(\f(2,x＋1))；


(3)f(x)＝eq \r(3－x)·eq \r(x－1)；


(4)f(x)＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x).


[思路点拨] 要求函数的定义域，只需分母不为0，偶次方根中被开方数大于等于0即可．


[解] (1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，


函数f(x)＝2＋eq \f(3,x－2)有意义，


所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．


(2)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≠0，,\f(2,x＋1)≥0，,x＋1≠0，))


解得x>－1且x≠1，


所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．


(3)函数有意义，当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x≥0，,x－1≥0，))解得1≤x≤3，


所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．


(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,1－x≥0，))解得x≤1且x≠－1，


即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．





(变结论)在本例(3)条件不变的前提下，求函数y＝f(x＋1)的定义域．


[解] 由1≤x＋1≤3得0≤x≤2.


所以函数y＝f(x＋1)的定义域为[0,2]．





求函数定义域的常用方法


1若fx是分式，则应考虑使分母不为零.2若fx是偶次根式，则被开方数大于或等于零.


3若fx是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合.


4若fx是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集.


5若fx是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义.





【例4】 下列各组函数是同一函数的是( )


①f(x)＝eq \r(－2x3)与g(x)＝xeq \r(－2x)；


②f(x)＝x与g(x)＝eq \r(x2)；


③f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)；


④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1.


A．①② B．①③


C．③④ D．①④


C [①f(x)＝eq \r(－2x3)＝|x|eq \r(－2x)与g(x)＝xeq \r(－2x)的对应法则和值域不同，故不是同一函数．


②g(x)＝eq \r(x2)＝|x|与f(x)＝x的对应法则和值域不


同，故不是同一函数．


③f(x)＝x0与g(x)＝eq \f(1,x0)都可化为y＝1且定义域是{x|x≠0}，故是同一函数．


④f(x)＝x2－2x－1与g(t)＝t2－2t－1的定义域都是R，对应法则也相同，而与用什么字母表示无关，故是同一函数．


由上可知是同一函数的是③④.


故选C.]





判断函数相等的方法


1先看定义域，若定义域不同，则不相等；


2若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同.





eq \([跟进训练])


4．下列各组函数中是相等函数的是( )


A．y＝x＋1与y＝eq \f(x2－1,x－1)


B．y＝x2＋1与s＝t2＋1


C．y＝2x与y＝2x(x≥0)


D．y＝(x＋1)2与y＝x2


B [A，C选项中两函数的定义域不同，D选项中两函数的对应关系不同，故A，C，D错误，选B.]








1．明确5个概念


(1)函数的定义；(2)函数的定义域；(3)函数的值域；(4)同一函数；(5)区间


2．规避4个易错点


(1)符号“y＝f(x)”为y是x的函数，它仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”．


(2)对于用关系式表示的函数．如果没有给出定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的自变量取值的集合．这也是求某函数定义域的依据．


(3)判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．


(4)化简函数的对应关系的变化时要注意定义域的变化．





1．下列四个图象中，不是函数图象的是( )





A B C D


B [根据函数的定义知：y是x的函数，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]


2．下列函数中，与函数y＝x相等的是( )


A．y＝(eq \r(x))2 B．y＝eq \r(x2)


C．y＝|x| D．y＝eq \r(3,x3)


D [函数y＝x的定义域为R；y＝(eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)；y＝eq \r(x2)＝|x|，对应关系不同；y＝|x|对应关系不同；y＝eq \r(3,x3)＝x，且定义域为R.故选D.]


3．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：


①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是( )


A．① B．②


C．③ D．④


D [只有y＝|x|是符合题意的对应关系．]


4．将函数y＝eq \f(3,1－\r(1－x))的定义域用区间表示为________．


(－∞，0)∪(0,1] [由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0，))


解得x≤1且x≠0，用区间表示为(－∞，0)∪(0,1]．]


5．已知函数f(x)＝x＋eq \f(1,x)，


(1)求f(x)的定义域；


(2)求f(－1)，f(2)的值；


(3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值．


[解] (1)要使函数f(x)有意义，必须使x≠0，


∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．


(2)f(－1)＝－1＋eq \f(1,－1)＝－2，f(2)＝2＋eq \f(1,2)＝eq \f(5,2).


(3)当a≠－1时，a＋1≠0，


∴f(a＋1)＝a＋1＋eq \f(1,a＋1).


学 习 目 标
核 心 素 养
1.进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型．能用集合与对应的语言刻画出函数，体会对应关系在刻画数学概念中的作用．(重点、难点)


2．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．(重点)


3．能够正确使用区间表示数集．(易混点)
1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养．


2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养．


3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养.
定义
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素
对应关系
y＝f(x)，x∈A
定义域
自变量x的取值范围
值域
与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a开区间
(a，b)
{x|a≤x半开半闭区间
[a，b)
{x|a半开半闭区间
(a，b]
定义
R
{x|x≥a}
{x|x＞a}
{x|x≤a}
{x|x＜a}
符号
(－∞，＋∞)
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，a]
(－∞，a)
函数的概念
求函数值
求函数的定义域
同一函数的判断