数学必修13.1.1方程的根与函数的零点学案

这是一份数学必修13.1.1方程的根与函数的零点学案，共8页。


授课提示：对应学生用书第30页
[教材提炼]
知识点一 函数的概念
eq \a\vs4\al(预习教材，思考问题)
y＝x中x与y的对应关系，和y＝eq \f(x2,x)中x与y的对应关系相同吗？
知识梳理 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(functin)，记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(dmain)；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range)．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．
(3)相同函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
知识点二 区间的概念
知识梳理 (1)一般区间的表示
(2)特殊区间
[自主检测]
1．下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是( )
答案：D
2．已知函数g(x)＝2x2－1，则g(1)＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
答案：C
3．函数f(x)＝eq \f(1,\r(4－x))的定义域是( )
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．(4，＋∞) D．[4，＋∞)
答案：A
4．已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，则∁UA用区间表示为________．
答案：(－∞，1]∪(3，＋∞)
授课提示：对应学生用书第31页
探究一 函数关系的判断
[例1] (1)下列集合A到集合B的对应f是函数的是( )
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：A中的数取绝对值
[解析] 按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．
[答案] A
(2)下列图形中，不能确定y是x的函数的是( )
[解析] 任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
[答案] D
1．判断一个对应是否是函数的方法
2．根据图形判断对应是否为函数的步骤
(1)任取一条垂直于x轴的直线l.
(2)在定义域内平行移动直线l.
(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：
集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )
A．f：x→y＝eq \f(1,2)x B．f：x→y＝eq \f(1,3)x
C．f：x→y＝eq \f(2,3)x D．f：x→y＝eq \r(x)
解析：对选项C，当x＝4时，y＝eq \f(8,3)＞2不合题意，故选C.
答案：C
探究二 求函数的定义域
[例2] (1)函数y＝eq \f(2,1－\r(1－x))的定义域为( )
A．(－∞，1) B．(－∞，0)∪(0,1]
C．(－∞，0)∪(0,1) D．[1，＋∞)
(2)已知函数y＝f(x)与函数y＝eq \r(x＋3)＋eq \r(1－x)是相等函数，则函数y＝f(x)的定义域是( )
A．[－3,1] B．(－3,1)
C．(－3，＋∞) D．(－∞，1]
(3)函数y＝eq \f(x＋10,\r(|x|－x))的定义域是( )
A．{x|x＞0} B．{x|x＜0}
C．{x|x＜0，且x≠－1} D．{x|x≠0，且x≠－1}
(4)已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________．
[解析] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,1－\r(1－x)≠0))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤1，,x≠0.))故选B.
(2)由于y＝f(x)与y＝eq \r(x＋3)＋eq \r(1－x)是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.
(3)∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,|x|－x＞0，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,|x|＞x，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－1，,x＜0.))故选C.
(4)由题意知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5.又底边长y与腰长x应满足2x＞y，即4x＞10，x＞eq \f(5,2).综上，eq \f(5,2)＜x＜5.
[答案] (1)B (2)A (3)C (4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，5))
求函数定义域的实质及结果要求
(1)求函数的定义域实质是解不等式(组)，即将满足的条件转化为解不等式(组)的问题，要求把满足条件的不等式列全．
(2)结果要求：定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式．
(3)一般地，形如y＝eq \r(fx)，则f(x)≥0，
形如y＝eq \f(1,fx)，则f(x)≠0，
形如y＝(f(x))0，则f(x)≠0.
1．下列函数中，与函数y＝eq \f(1,\r(3,x3))有相同定义域的是( )
A．f(x)＝eq \r(x) B．f(x)＝eq \f(1,x)
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝eq \r(3,x3)
解析：函数y＝eq \f(1,\r(3,x3))＝eq \f(1,x)，其定义域为{x|x≠0}，与选项B中的函数是相等函数，其定义域相同．
答案：B
2．y＝eq \r(x－1)·eq \r(1－x)的定义域为________．
解析：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,1－x≥0))⇒x＝1，所以函数的定义域为{1}．
答案：{1}
探究三 求函数值问题
[例3] [教材P65例2拓展探究]
(1)若函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2)，求f(f(－3))的值．
[解析] ∵f(－3)＝－1.
∴f(f(－3))＝f(－1)＝eq \r(－1＋3)＋eq \f(1,－1＋2)＝eq \r(2)＋1.
(2)若函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2)，求f(x－1)的定义域．
[解析] 法一：f(x－1)＝eq \r(x－1＋3)＋eq \f(1,x－1＋2)＝eq \r(x＋2)＋eq \f(1,x＋1)
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2≥0，,x＋1≠0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥－2，,x≠－1.))
定义域为[－2，－1)∪(－1，＋∞)．
法二：∵f(x)的定义域为{x|x≥－3且x≠－2}，
∴f(x－1)的定义域为x－1≥－3且x－1≠－2.
即{x|x≥－2且x≠－1}．
(3)若函数f(x)＝eq \r(x＋3)＋eq \f(1,x＋2)，设g(x)＝x2－3，求f[g(x)]．
[解析] 首先g(x)≥－3，且g(x)≠－2，
即x2－3≥－3且x2－3≠－2，
∴x≠±1.
∴f[g(x)]＝eq \r(gx＋3)＋eq \f(1,gx＋2)＝eq \r(x2)＋eq \f(1,x2－1)＝|x|＋eq \f(1,x2－1).
∴f[g(x)]＝|x|＋eq \f(1,x2－1)(x≠±1)．
函数求值的方法及关注点
(1)方法：
①求f(a)：已知f(x)的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f(a)的值．
②求f(g(a))：已知f(x)与g(x)，求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．
(2)关注点：用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
授课提示：对应学生用书第32页
一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题eq \x(►数学抽象、逻辑推理)
所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．
1．定义域问题
求抽象函数定义域的原则及方法
(1)原则：同在对应法则f下的范围相同，即f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)的范围相同．
(2)方法：①已知f(x)的定义域为A，求f(g(x))的定义域，其实质是已知g(x)∈A，求x的范围；
②已知f(g(x))的定义域为A，求f(x)的定义域，其实质是已知x∈A，求g(x)的范围，此范围就是f(x)的定义域．
[典例] (1)已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求f(x2＋1)的定义域；
(2)已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域．
[解析] (1)因为函数f(x2＋1)中的x2＋1相当于函数f(x)中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f(x2＋1)的定义域为{x|x＝0}．
(2)因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x＜1，
所以－1≤2x－1＜1.
故f(x)的定义域为[－1,1)，所以－1≤1－3x＜1.
解得0＜x≤eq \f(2,3)，所以f(1－3x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2,3))).
2．求值问题
充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．
[典例] 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x，y∈R)，f(1)＝2，则f(－3)等于( )
A．2 B．3
C．6 D．9
[解析] f(1)＝f(1＋0)＝f(1)＋f(0)＋2×1×0＝f(1)＋f(0)，得f(0)＝0；又f(0)＝f(－1＋1)＝f(－1)＋f(1)＋2×(－1)×1＝f(－1)＋2－2＝f(－1)，得f(－1)＝0；f(－2)＝f(－1－1)＝2f(－1)＋2×(－1)2＝2×0＋2＝2；
f(－3)＝f(－2－1)＝f(－2)＋f(－1)＋2×(－2)×(－1)＝2＋0＋4＝6.
[答案] C
点评 求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式．
二、求定义域时盲目化简
[典例] 求函数y＝eq \f(x＋12,x＋1)－eq \r(1－x)的定义域．
[解析] 要使函数有意义，须eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x≥0，,x＋1≠0，))得x≤1且x≠－1
定义域为(－∞，－1)∪(－1,1]．
纠错心得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y＝x＋1－eq \r(1－x)，求定义域更简单.1－x≥0得x≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．
内 容 标 准
学 科 素 养
1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的数学模型．
数学抽象
数学建模
数学推理
2.学习用集合对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．
3.了解构成函数的要素，会求函数的定义域.
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
(a，b)
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b)
{x|a＜x≤b}
半开半闭区间
(a，b]
定义
区间
数轴表示
{x|x≥a}
[a，＋∞)
{x|x＞a}
(a，＋∞)
{x|x≤b}
(－∞，b]
{x|x＜b}
(－∞，b)
R
(－∞，＋∞)