高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程课时训练

【优选】2.5.1 椭圆的标准方程-2课时练习

一．填空题

1．已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是___________.

2．椭圆的长轴长是短轴长的倍，且经过点，则该椭圆标准方程是_______.

3．设，，若直线（）上存在一点P满足，且的内心到x轴的距离为，则___．

4．若椭圆的一个焦点为，则实数t=______.

5．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左焦点为，过点且斜率为的直线与在第二象限的交点为，若，则的离心率为___________.

6．若椭圆上一点P到一个焦点的距离为，则点到另一焦点的距离为_____________．

7．已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，且，则椭圆的离心率为______．

8．已知F1，F2为椭圆的左？右焦点，点P在椭圆C上，，则___________.

9．点P是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1.当点P在第一象限时，它的纵坐标为__________．

10．椭圆的一个焦点为，点P在椭圆上，如果线段的中点M在y轴上，则点M到坐标原点O的距离 =____.

11．椭圆的离心率是___________.

12．设点是椭圆上一点，．分别是椭圆的左．右焦点，为的内心，若，则该椭圆的离心率是_______．

13．椭圆的离心率为__________．

14．已知椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点，且，则椭圆的离心率为_______.

15．已知椭圆的左．右焦点分别为是椭圆过焦点的弦，则的周长是___.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】分析：由周长确定，故轨迹是椭圆，注意焦点位置和抠除不符合条件的点即可.

详解：的周长为20，且顶点，，

，，

所以点到两个定点的距离和为定值，故点的轨迹是焦点在y轴上的椭圆，

，，

则顶点A的轨迹方程是.

故答案为：.

【点睛】

易错点睛：本题考查椭圆定义的应用，在求解过程中要注意椭圆的定义要检查两个线段的大小，看是否可以构成椭圆，还要注意要围城三角形需要排除不符合的点，考查学生的转化能力与运算能力，属于基础题.

2．【答案】或

【解析】分析：分类讨论焦点在轴与焦点在轴两种情况.

详解：由题意，，①设椭圆的标准方程为，则，得，可得椭圆的标准方程为；②设椭圆的标准方程为，则，得可得椭圆的标准方程为.

故答案为：或.

3．【答案】1

【解析】分析：根据椭圆的定义可知，点在以为焦点的椭圆上，求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程求出点的坐标，再根据三角形的面积列等式可求得结果.

详解：因为，

所以点在以为焦点的椭圆上，且椭圆的长轴长为，焦距为，

所以，，即，所以，

所以该椭圆方程为，

不妨设，

联立，解得，

因为的内心到x轴的距离为，所以的内切圆的半径，

所以的面积为，

又的面积为，

所以，解得，又，所以.

故答案为：1

【点睛】

关键点点睛：求解关键有2个：①利用椭圆的定义求出点所在的椭圆方程；②利用三角形的面积列等式求解.

4．【答案】-1

【解析】分析：先将椭圆方程化为标准方程，再根据其一个焦点为求解.

详解：椭圆的标准方程为：，

因为其一个焦点为，

所以，

所以，

解得，

故答案为：-1

5．【答案】

【解析】分析：先根据直线的斜率为，得，即得到为正三角形，得到，再根据椭圆的定义得到，即可求出椭圆的离心率为.

详解：解：设的右焦点为，

由直线的斜率为，得，

又，

为正三角形，

即；

设，

则，

，

，

即椭圆的离心率为.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：本题解题的关键是找到关于的等量关系．

6．【答案】

【解析】分析：直接利用椭圆的定义求解即可

详解：由椭圆方程，得，，

由，则

故答案为：

7．【答案】

【解析】分析：由题意设椭圆的焦点在轴上，，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.

详解：设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，

设，由，且，

故，，

由点在椭圆上，

故，整理得，

故离心率，

故答案为：.

【点睛】

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．

8．【答案】

【解析】分析：根据椭圆定义，可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理，变形整理，即可求得结果.

详解：由椭圆定义可得|PF1|＋|PF2|＝4，利用余弦定理可得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60°＝|F1F2|2，

所以，

解得3|PF1|·|PF2|＝4，即，

故答案为：

9．【答案】

【解析】分析：椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出，建立关于的关系式求解.

详解：因为，，所以；又因为，所以．

故答案为：

【点睛】

椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理．余弦定理．|PF1|＋|PF2|＝2a等.

10．【答案】

【解析】分析：设点的坐标为，由题得，根据中点坐标公式知道点的坐标为，代入椭圆的方程得解.

详解：设点的坐标为，由题得，

根据中点坐标公式知道点的坐标为，

代入椭圆的方程得，

所以.

故答案为：

11．【答案】

【解析】分析：利用题目所给的标准方程，求出，然后求解，即可求解离心率.

详解：解：椭圆的长半轴为，短半轴为，

则半焦距为，

所以椭圆的离心率为：，

故答案为：.

【点睛】

本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题型；解题方法是根据椭圆标准方程的性质分别逐步求出，然后再求出离心率；解题的关键点是根据求出离心率.

12．【答案】

【解析】分析：设的内切圆的半径为，根据内心的性质，结合三角形面积公式将已知条件化简可得，由此结合离心率公式即可求解.

详解：设的内切圆的半径为，

则，，，

因为，

所以，可得，

所以该椭圆的离心率是，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：求椭圆离心率的方法

（1）直接利用公式；

（2）利用变形公式；

（3）根据条件列出关于的齐次式，两边同时除以，化为关于离心率的方程即可求解.

13．【答案】

【解析】分析：求出．．的值，进而可求得椭圆的离心率的值.

详解：在椭圆中，，，，

所以，椭圆的离心率为.

故答案为：.

14．【答案】

【解析】分析：根据数形结合分析，可得，并根据勾股定理，可得，计算离心率.

详解：如图，首先画出函数图象，

，，

又，，且，且，

，，

根据椭圆的定义可知，

由勾股定理可知，即

整理为，即，

.

故答案为：

【点睛】

方法点睛：本题考查椭圆离心率的取值范围，求椭圆离心率是常考题型，涉及的方法包含1.根据直接求，2.根据条件建立关于的齐次方程求解，3.根据几何关系找到的等量关系求解.

15．【答案】16

【解析】分析：根据椭圆的定义求解．

详解：由椭圆的定义知所以.

故答案为：16.