北师大版高中数学必修第二册第4章2-2两角和与差的正弦、正切公式及其应用作业含答案

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用

课后训练巩固提升

1.化简sin 200°cos 140°-cos 160°sin 40°的结果为(　　).

A. B.sin 20° 

C.cos 20° D.

解析:由cos160°=cos(360°-160°)=cos200°,sin40°=sin(180°-40°)=sin140°,

可知sin200°cos140°-cos160°·sin40°

=sin200°cos140°-cos200°sin140°=sin(200°-140°)=sin60°=.

答案:A

2.在△ABC中,若sin(B+C)=2sin Bcos C,则△ABC是(　　).

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

解析:因为sin(B+C)=2sinBcosC,所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC,即sinBcosC-cosBsinC=0,所以sin(B-C)=0,所以B=C,所以△ABC是等腰三角形.

答案:D

3.已知α,β均为锐角,sin α=,tan(β-α)=,则tan β=(　　).

A. B. 

C.3 D.

解析:因为sinα=,α为锐角,

所以cosα=.

所以tanα=,

所以tanβ=tan[(β-α)+α]=.

答案:A

4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b·cos C=a+c,则B=(　　).

A. B. 

C. D.

解析:由正弦定理,得sinBcosC=sinA+sinC.

∵A+B+C=π,∴sinA=sin(B+C),

∴sinBcosC=sin(B+C)+sinC=sinB·cosC+cosBsinC+sinC,

即cosBsinC+sinC=0.

又C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosB=-.

又B∈(0,π),∴B=.

答案:C

5.已知θ是第四象限角,且sin,则tan=(　　).

A. B.- 

C.- D.

解析:(方法一)∵sin(sinθ+cosθ)=,

∴sinθ+cosθ=,①

∴2sinθcosθ=-.

∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,

∴sinθ-cosθ=-=-,②

由①②得sinθ=-,cosθ=,∴tanθ=-,

∴tan=-.

(方法二)∵,

∴sin=cos,

又2kπ-<θ<2kπ(k∈Z),

∴2kπ-<θ+<2kπ+(k∈Z),

∴cos,∴sin,

∴tan,

∴tan=-tan=-.

答案:B

6.已知cos=sin,则tan α=　　　　　. 

解析:cos=cosαcos-sinαsincosα-sinα,

sin=sinαcos-cosαsinsinα-cosα,

所以sinα=cosα,故tanα=1.

答案:1

7.已知coscos β=,cos αsin β=cos,则sin(α+β)=　　　　　. 

解析:∵coscosβ=sinαcosβ=,cosαsinβ=cos=cos,

∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=.

答案:

8.如图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是.

(第8题)

(1)求tan(α+β)的值;

(2)求tan(α+2β)的值.

解:(1)由题意可得cosα=,cosβ=.

因为α,β都为锐角,所以sinα=,sinβ=,

从而tanα=7,tanβ=,

所以tan(α+β)==-3.

(2)tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===-1.

9.在△ABC中,三个内角分别为A,B,C.已知sin=2cos A.

(1)求角A的大小;

(2)若B∈,且cos(A-B)=,求sin B的值.

解:(1)由sin=2cosA,

得sinA+cosA=2cosA,即sinA=cosA.

因为A∈(0,π),且cosA≠0,

所以tanA=,所以A=.

(2)因为B∈,cos(A-B)=,

所以A-B=-B∈.

于是sin(A-B)=,

故sinB=sin[A-(A-B)]=sinAcos(A-B)-cosAsin(A-B)=.