高中数学北师大版 (2019)必修 第二册2.3 三角函数的叠加及其应用同步达标检测题

2.3　三角函数的叠加及其应用

课后训练巩固提升

1.化简cos x-sin x的结果是(　　).

A.2cos  B.2sin

C.2sin  D.2cos

解析:原式=2=2=2cos.

答案:D

2.已知sin α+cos α=,则sin的值为(　　).

A.- B. C.- D.

解析:∵sinα+cosα=sin,

∴sin=sin=-sin=-.

答案:C

3.(多选题)设函数f(x)=sin+cos,则(　　).

A.f(x)为偶函数

B.f(x)在区间上单调递增

C.f(x)的最大值为2

D.f(x)的图象关于点对称

解析:因为f(x)=sin=cos2x,所以f(x)为偶函数,故A正确.

当x∈时,2x∈(0,π),

所以f(x)在区间上单调递减,故B错误.

f(x)的最大值为,故C错误.

当x=时,f=0,

所以f(x)的图象关于点对称,故D正确.

答案:AD

4.已知A(3,0),B(0,3),C(cos α,sin α),若=-1,则sin等于(　　).

A. B. 

C. D.

解析:=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),

则=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)

=1-3(cosα+sinα)

=1-3

=1-3

=1-3sin=-1,

∴sin.

答案:B

5.化简:sincos=　　　　　　　　　　. 

解析:sincos

=

=×2

=

=sinsin.

答案:sin

6.函数f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)0≤φ≤的图象关于直线x=对称,则sin φ=　　　　　. 

解析:∵f(x)=sin(2x+φ)-2cos(2x+φ)=sin(2x+φ-θ),且f(x)的图象关于直线x=对称,∴2×+φ-θ=+kπ,k∈Z,则φ=kπ+θ(k∈Z),∴sinφ=sin(kπ+θ)(k∈Z).当k为偶数时,sinφ=sinθ=;当k为奇数时,sinφ=-sinθ=-.

又∵0≤φ≤,∴0≤sinφ≤1.故sinφ=.

答案:

7.设常数a使方程sin x+cos x=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=　　　　　. 

解析:sinx+cosx=2=2sin=a,在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2sin,x∈[0,2π]与y=a的图象(图略),可知当a=时,直线y=a与函数y=2sin,x∈[0,2π]的图象恰有三个交点,即方程sinx+cosx=a在x∈[0,2π]上恰有三个解.

令sin,得x+=2kπ+(k∈Z)或x+=2kπ+(k∈Z),即x=2kπ(k∈Z)或x=2kπ+(k∈Z),∴0,,2π为符合条件的三个解,

故x1+x2+x3=.

答案:

8.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的最小正周期为π,则当x∈时函数f(x)的一个零点是　　　　　. 

解析:∵f(x)=sinωx+cosωx=2sin,

且f(x)的最小正周期为π,得ω=2,

∴f(x)=2sin.

由f(x)=0,即2sin=0,

得2x+=kπ,k∈Z,∴x=-,k∈Z.

∵x∈,∴x=.

∴当x∈时函数f(x)的一个零点是.

答案:

9.如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt△FHE,H是直角顶点)来处理污水.管道越长,污水净化效果越好.设计要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上.已知AB=20米,AD=10米,记∠BHE=θ.

(第9题)

(1)试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数,并写出定义域.

(2)当θ取何值时,污水净化效果最好?并求出此时管道的长度L.

解:(1)由题意可得EH=,FH=,且θ为锐角,故EF=.

∵BE=10tanθ≤10,AF=≤10,

∴≤tanθ≤.

∴θ∈.

∴L=,θ∈,

即L=10×,θ∈.

(2)设sinθ+cosθ=t,

则sinθcosθ=.

∵θ∈,

∴t=sinθ+cosθ=sin.

∴L=.

∵L=在区间上单调递减,∴当t=,

即θ=或θ=时,L取得最大值为20(+1)米.