数学必修 第二册第四章 三角恒等变换2 两角和与差的三角函数公式2.1 两角和与差的余弦公式及其应用综合训练题

§2　两角和与差的三角函数公式

2.1　两角和与差的余弦公式及其应用

课后训练巩固提升

1.若sin α=,α∈,则cos等于(　　).

A.- B. 

C.- D.

解析:由sinα=,α∈,得cosα=.

又cos=-cos=-coscosα-sinαsin=-(cosα+sinα)=-=-.

答案:C

2.已知△ABC的三个内角分别为A,B,C,若a=(cos A,sin A),b=(cos B,sin B),且a·b=1,则△ABC一定是(　　).

A.直角三角形 B.等腰三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形

解析:因为a·b=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1,且A,B,C是三角形的内角,所以A=B,即△ABC一定是等腰三角形.

答案:B

3.若x∈[0,π],sinsin=coscos,则x的值是(　　).

A. B. 

C. D.

解析:∵coscos-sinsin=0,

∴cos=0,即cosx=0.

∵x∈[0,π],∴x=.

答案:D

4.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β的值为(　　).

A.0 B. 

C. D.

解析:∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=,

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-,

∴2cosαcosβ=0.于是cosαcosβ=0.

答案:A

5.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos的值为(　　).

A. B.- 

C. D.-

解析:∵0<α<,-<β<0,

∴<α+.

又∵cos,cos,

∴sin,sin,

∴cos=cos

=coscos+sin·sin.故选C.

答案:C

6.已知tan α=2,tan β=3,则的值为　　　　　. 

解析:==-.

答案:-

7.若sin=-,sin,其中<α<<β<,则α+β的值为　　　　　. 

解析:∵<α<,∴--α<0,

∴cos.

∵<β<,∴+β<,

∴cos=-.

∴cos(α+β)=cos=coscos+sinsin

=-.

又<α+β<π,∴α+β=.

答案:

8.设cos=-,sin,其中α∈,β∈,求cos .

解:因为α∈,β∈,

所以α--β∈.

因为cos=-,sin,

所以sin,

cos.

所以cos=cos

=coscos+sinsin

=-.

9.已知向量a=(sin θ,-2)与b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.

(1)求sin θ和cos θ的值;

(2)若5cos(θ-φ)=3cos φ,0<φ<,求cos φ的值.

解:(1)因为a⊥b,所以a·b=sinθ-2cosθ=0,

即sinθ=2cosθ.

又因为sin2θ+cos2θ=1,所以4cos2θ+cos2θ=1,

即cos2θ=,所以sin2θ=.

又θ∈,所以sinθ=,cosθ=.

(2)因为5cos(θ-φ)=5(cosθcosφ+sinθsinφ)=cosφ+2sinφ=3cosφ,

所以cosφ=sinφ,

所以cos2φ=sin2φ=1-cos2φ,即cos2φ=.

因为0<φ<,所以cosφ=.