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北师大版高中数学必修第二册第4章3二倍角的三角函数公式作业含答案
展开§3 二倍角的三角函数公式
课后训练巩固提升
1.下列各式与tan α相等的是( ).
A. B.
C. D.
解析:由tanα=±,或tanα=可知,D项正确.
答案:D
2.的值是( ).
A. B.-
C. D.-
解析:原式=.
答案:A
3.若cos 2θ=-,则=( ).
A.- B. C.- D.
解析:cos2θ==-.
答案:A
4.若f(sin θ)=3-cos 2θ,则f(cos θ)等于( ).
A.3+cos 2θ B.3-cos 2θ
C.3-sin θ D.3+cos θ
解析:f(sinθ)=3-cos2θ=3-(1-2sin2θ)=2+2sin2θ,令t=sinθ∈[-1,1],则f(t)=2+2t2,
所以f(cosθ)=2+2cos2θ=3+cos2θ.
答案:A
5.(多选题)已知f(x)=(1+cos 2x)·sin2x,则下列结论正确的是( ).
A.f(x)的最小正周期为
B.f(x)为偶函数
C.f(x)的最大值为
D.f(x)的最小值为-
解析:∵f(x)=(1+cos2x)(1-cos2x)=(1-cos22x)=sin22x=(1-cos4x),
∴f(x)的定义域为R,f(-x)=[1-cos4(-x)]=(1-cos4x)=f(x),
故f(x)为偶函数,f(x)的最小正周期T=,f(x)的最大值为×2=,最小值为0.
故选ABC.
答案:ABC
6.已知tan 2θ=,θ∈,则的值为( ).
A. B.
C. D.
解析:因为tan2θ=,θ∈,则,解得tanθ=或tanθ=-3(舍去),
于是sinθ=,cosθ=.
故.
答案:A
7.已知tan α=-,则= .
解析:=tanα-=-.
答案:-
8.已知函数f(x)=cos2ωx+sin ωxcos ωx-(ω>0)的最小正周期为π.若f(x)>,则x的取值集合为 .
解析:f(x)=cos2ωx+sinωxcosωx-(1+cos2ωx)+sin2ωx-
cos2ωx+sin2ωx=sin,
因为函数f(x)的最小正周期为π,
所以有=π,得ω=1,故f(x)=sin.
因为f(x)>,即sin,由正弦函数的性质得,+2kπ<2x++2kπ,k∈Z.
解得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,
故x的取值集合为.
答案:
9.已知sin22α+sin 2αcos α-cos 2α=1,α∈,则α= .
解析:由sin22α+sin2αcosα-cos2α=1,
得sin22α+sin2αcosα-2cos2α=0,
即(2sinαcosα)2+2sinαcos2α-2cos2α=0,
∴2cos2α(2sin2α+sinα-1)=0,
∴2cos2α(2sinα-1)(sinα+1)=0.
∵α∈,∴cos2α≠0,sinα+1≠0,
∴2sinα-1=0,
∴sinα=,∴α=.
答案:
10.求证:=tan .
证明:===tan.
故原等式成立.
11.已知函数f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1(x∈R).
(1)求函数f(x)的最小正周期和其图象的对称轴方程;
(2)若函数g(x)=f的图象经过点,θ∈,求sin θ的值.
解:(1)f(x)=cos2x+sin2x=2sin,所以最小正周期T==π,
令2x+=kπ+(k∈Z),解得x=(k∈Z),所以其图象的对称轴方程为x=(k∈Z).
(2)g(x)=2sin=2sin,
又θ∈,所以θ+.
又g(θ)=2sin,
所以sin>0,
所以θ+,故θ∈,即sinθ∈,
因为sinθcos+cosθsin,即cosθ-sinθ=,且cos2θ+sin2θ=1,
所以100sin2θ+80sinθ+39=0,解得sinθ=,
又,-∉,所以sinθ=.