北师大版数学 必修第2册 第4章综合检测题课件PPT

第四章综合检测题

考试时间120分钟，满分150分．

一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知α为第二象限角，sin α＝，则sin 2α＝(　A　)

A．－　 　 B．－

C．　　　 D．

[解析]　此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．

∵sin α＝，α∈，

∴cos α＝－＝－，

∴sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.

2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于(　A　)

A． B．

C． D．－

[解析]　a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°

＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.

3.的值是(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　原式＝

＝

＝＝.

4．若＝，则tan 2α＝(　B　)

A．－ B．

C．－ D．

[解析]　本题考查三角恒等变换，“弦”化“切”．由＝得＝即2tan α＋2＝tan α－1，

∴tan α＝－3，∴tan 2α＝＝＝＝，“弦”化“切”，“切”化“弦”都体现了转化与化归思想．

5．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　y＝sin－sin 2x＝sin 2xcos－cos 2xsin－sin 2x＝－＝－sin，其增区间是函数y＝sin的减区间，即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，∴kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x∈.

6．已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan＝(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　tan＝tan

＝＝＝.

7．若sin＝，则cos＝(　A　)

A．－ B．－

C． D．

[解析]　cos＝2cos2－1．

∵＋＝，

∴cos＝sin＝.

∴cos＝2×2－1＝－.

8．将函数f(x)＝sin 2xsin＋cos2xcos－sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为(　C　)

A．，－ B．，－

C．，－ D．，

[解析]　f(x)＝×sin 2x＋cos2x－sin＝sin 2x＋cos2x－＝sin 2x＋×－＝sin，所以g(x)＝sin.因为x∈，所以4x＋∈，所以当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最大值；当4x＋＝，即x＝时，g(x)取得最小值－.

二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)

9．(2021·潍坊高一检测)已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝，则下列结论正确的是(　ABD　)

A．θ∈ B．cos θ＝－

C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝

[解析]　因为sin θ＋cos θ＝，

两边平方得1＋2sin θcos θ＝，

解得sin θcos θ＝－，所以sin θ，cos θ异号，

又因为θ∈(0，π)，所以θ∈，故A正确；因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝且θ∈，所以sin θ>cos θ，故sin θ－cos θ＝，故D正确；由得

所以tan θ＝＝－.故B正确，C错误．

10．(2021·南京高一检测)已知α，β是锐角，cos α＝，cos(α－β)＝，则cos β＝(　AC　)

A． B．

C． D．－

[解析]　由α是锐角，cos α＝得sin α＝，

又α，β是锐角，则－β∈得α－β∈，

又cos(α－β)＝，

则sin(α－β)＝±，

则cos β＝cos [α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×±×＝得cos β＝或cos β＝，故选AC．

11．已知函数f(x)＝2sin xcos x－2sin2x，给出下列四个选项，正确的有(　AB　)

A．函数f(x)的最小正周期是π

B．函数f(x)在区间上单调递减

C．函数f(x)的图象关于点对称

D．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到

[解析]　f(x)＝2sin xcos x－2sin2x＋1－1＝sin 2x＋cos 2x－1＝sin－1．因为ω＝2，所以f(x)的最小正周期T＝π，故A正确．当x∈时，2x＋∈，则函数f(x)在上单调递减，故B正确．正弦曲线的对称中心为(kπ，0)，k∈Z，所以f(x)图象的对称中心为，k∈Z，所以函数f(x)图象的一个对称中心为，故C不正确．函数f(x)的图象可由函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，故D不正确．

12．已知函数f(x)＝sin x·sin－的定义域为[m，n](m<n)，值域为，则n－m的值不可能是(　CD　)

A． B．

C． D．

[解析]　f(x)＝sin x·sin－＝sin x－＝sin2x＋sin xcos x－＝(1－cos 2x)＋sin 2x－＝－＝sin.作出函数f(x)的图象如图所示，在一个周期内考虑问题，易得

或

所以n－m的值可能为区间内的任意实数．故选CD．

三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．tan 21°＋tan 39°＋tan 21°·tan 39°＝  .

[解析]　tan(21°＋39°)＝tan 60°＝，

∴＝.

∴tan 21°＋tan 39°＋tan 21°tan 39°＝.

14．函数f(x)＝sin2的最小正周期是  .

[解析]　本题考查了倍角公式及三角函数的性质．

f(x)＝sin2＝

＝－sin 4x＋，

∴T＝＝.

15．coscoscoscoscos＝  .

[解析]　原式＝－coscoscoscoscos

＝－

＝－＝＝＝.

16．对于集合{θ1，θ2，…，θn}和常数θ0，定义：μ＝为集合{θ1，θ2，…，θn}相对于θ0的“余弦方差”．已知集合相对于任何常数θ0的“余弦方差”是一个常数，则这个常数是  .

[解析]　方法一　当集合Ω＝时，集合Ω相对于常数θ0的“余弦方差”

μ＝＝

＝

＝.

方法二　当集合Ω＝时，

μ ＝＝

＝

＝

＝＝.

四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)已知α∈.

(1)若sin α＝，求sin的值；

(2)若cos＝，求sin α的值．

[解析]　(1)因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝，

所以sin＝sin α＋cos α＝＋＝.

(2)因为α∈，所以α＋∈，

又因为cos＝，

所以sin＝，

所以sin α＝sin

＝sin－cos

＝－＝.

18．(本小题满分12分)已知tan α＝2.

(1)求tan的值；

(2)求的值．

[解析]　(1) tan ＝

＝＝＝－3.

(2)

＝

＝

＝

＝

＝1．

19．(本小题满分12分)已知sin＝，A∈.

(1)求cos A的值；

(2)求函数f(x)＝cos 2x＋sin Asin x的值域．

[解析]　(1)因为<A<，且sin＝，

所以<A＋<，cos＝－.

因为cos A＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝，

所以cos A＝.

(2)由(1)可得sin A＝.

所以f(x)＝cos 2x＋sin Asin x

＝1－2sin2x＋2sin x＝－22＋.

因为sin x∈[－1,1]，

所以当sin x＝时，f(x)取最大值；

当sin x＝－1时，f(x)取最小值－3.

所以函数f(x)的值域为.

20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)若f(θ)－f(－θ)＝，θ∈，求f.

[解析]　(1)f＝Asin＝Asin＝，

∴A＝×＝3.

(2)由(1)得：f(x)＝3sin，

∴f(θ)－f(－θ)＝3sin－3sin

＝3－

3

＝6sin θcos＝3sin θ，而f(θ)－f(－θ)＝，

所以sin θ＝，又因为θ∈

所以cos θ＝＝＝，

所以f＝3sin

＝3sin＝3cos θ＝.

21．(本小题满分12分)设a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2满足f＝f(0)，求函数f(x)在上的最大值和最小值．

[解析]　f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2

＝asin xcos x－cos2x＋sin2x

＝sin 2x－cos 2x.

∵f＝f(0)，

∴sin－cos＝－1．∴a＝2.

∴f(x)＝sin 2x－cos 2x

＝2

＝2sin.

∵x∈，

∴≤2x－≤.

∴≤sin≤1．

∴≤2sin≤2.

∴函数f(x)的最大值为2，最小值为.

22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1(x∈R)．

(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；

(2)若f(x0)＝，x0∈，求cos 2x0的值．

[解析]　(1)由f(x)＝2sin xcos x＋2cos2x－1，

得f(x)＝(2sin xcos x)＋(2cos2x－1)

＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.

所以函数f(x)的最小正周期为π.

因为f(x)＝2sin在区间上为增加的，在区间上为减少的．又f(0)＝1，f＝2，f＝－1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为－1．

(2)由(1)可知f(x0)＝2sin.

又因为f(x0)＝，所以sin＝.

由x0∈，得2x0＋∈.

从而cos＝－＝－.

所以cos 2x0＝cos

＝coscos＋sinsin

＝.