北师大版 (2019)必修 第二册2.2 复数的乘法与除法学案

2.2　复数的乘法与除法

[教材要点]

要点一　复数的乘法

1．运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝________＋________i.

2．乘法运算律

(1)交换律：z1·z2＝z2·z1；

(2)结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；

(3)乘法对加法的分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3.

3．整数指数幂的运算性质：对复数z，z1，z2和正整数m，n有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z.

4．i的乘方规律

(1)i0＝1，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，…

(2)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.

　复数乘法运算的方法

(1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可．

(2)复数的乘法可以应用实数运算中的乘法公式，如平方差公式，完全平方公式等．

要点二　复数的除法

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则＝＝____________.

[教材答疑]

[教材P173思考交流]

(1)(3＋2i)(3－2i)＝13

(2)(2＋i)(2－i)＝5

(3)(－2－i)(－2＋i)＝9

(4)(＋i)(－i)＝5

规律：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2.

证明：＝a－bi

∴z·＝(a＋bi)(a－bi)＝a2－abi＋bai－b2i2＝a2＋b2

|z|2＝a2＋b2，||2＝a2＋b2

∴z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2.

[基础自测]

1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)两个共轭虚数的和为纯虚数．(　　)

(2)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．(　　)

(3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)

(4)两个虚数相乘的结果可能为实数．(　　)

2．设z＝i(2＋i)，则＝(　　)

A．1＋2i  B．－1＋2i

C．1－2i  D．－1－2i

3．若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)

A．－1－i  B．－1＋i

C．1－i  D．1＋i

4．设复数z＝，则|z|＝________.

题型一　复数的乘、除运算——自主完成

计算下列各题：

(1)(1－i)2；

(2)；

(3)(1＋i)(2－i)(3＋2i)；

(4)；

(5).

方法归纳

1．两个复数代数形式乘法的一般方法：

(1)首先按多项式的乘法展开．

(2)再将i2换成－1.

(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．

2．两个复数代数形式的除法运算步骤：

(1)把除式写为分式．

(2)分子、分母同时乘以分母的共轭复数．

(3)对分子、分母分别进行乘法运算．

(4)把运算结果化为复数的代数形式．

题型二　复数运算的综合应用——微点探究

微点1　复数的综合运算

例1　(1)计算：；

(2)计算：＋2＋3＋…＋2020.

方法归纳

在复数的运算过程中，适当地运用运算技巧能使复杂问题简单化．

(1)i的运算律：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0，n∈N.

(2)(1±i)2＝±2i.

(3)＝i，＝－i.

微点2　与共轭复数有关的运算

例2　若复数z＝1＋2i，则(z＋)·＝________.

变式探究　将本例中条件改为“(1＋2i)z＝4＋3i”，则＝________.

方法归纳

与共轭复数有关问题的解决方法：(1)若复数z的代数形式已知，根据共轭复数的定义表示出，再进行复数的四则运算；

(2)若复数z的代数形式未知，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式或方程，利用复数相等的充要条件，转化为解方程(组)问题．

微点3　与复数的模有关的运算

例3　(1)设复数z满足＝i，则|z|＝(　　)

A．1  B.

C.  D．2

(2)i是虚数单位，则的值为________．

方法归纳

对已知的复数先运算再求模．

微点4　与复数的几何意义有关的运算

例4　(1)复数在复平面内所对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

(2)若z＝(a－)＋ai为纯虚数，其中a∈R，则＝(　　)

A．i  B．1

C．－i  D．－1

方法归纳

利用复数的四则运算进行化简，然后利用题目中复数满足的几何意义求解．

跟踪训练1　(1)已知z＝，则||＝(　　)

A．5  B.

C．1  D．2

(2)已知复数z1＝1＋ai，z2＝3＋2i，a∈R，若z1z2为实数，则a＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

(3)＋＋＋＝________.

题型三　复数范围内的一元二次方程问题——师生共研

把1＋i代入方程，利用复数相等求值．例5　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．

(1)求b，c的值；

(2)试判断1－i是否是方程的根．

方法归纳

与复数范围内一元二次方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但根的判别式“Δ”不再适用．

跟踪训练2　已知1＋i是方程关于x的方程ax2＋bx＋2＝0(a，b∈R)的一个根，则a＋b＝(　　)

A．－1  B．1

C．－3  D．3

易错辨析　误认为z2＝|z|2致错

例6　已知复数z满足条件z2－|z|－6＝0，则复数z＝________.

解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则由条件得x2－y2＋2xyi－－6＝0.

由复数相等的充要条件得

解得或(无解)

即解得故z＝3或z＝－3.

答案：3或－3

易错警示

2．2　复数的乘法与除法

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

1．(ac－bd)　(bc＋ad)

要点二

－i

[基础自测]

1．(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2．解析：∵z＝i(2＋i)＝2i－1＝－1＋2i，

∴＝－1－2i

答案：D

3．解析：z＝＝＝

＝i(1－i)＝1＋i

答案：D

4．解析：∵z＝＝1－i，

∴|z|＝.

答案：

题型探究·课堂解透

题型一

解析：(1)(1－i)2＝1－2i＋i2＝－2i；

(2)

＝2－2

＝＋＝1；

(3)(1＋i)(2－i)(3＋2i)＝(2－i＋2i－i2)(3＋2i)＝(3＋i)(3＋2i)＝9＋6i＋3i＋2i2＝7＋9i；

(4)＝＝＝－＋i；

(5)＝＝＝－i.

题型二

例1　解析：(1)＝

＝＝＝＝＋i；

(2)∵＝＝＝i，

∴原式＝i＋i2＋i3＋…＋i2020

＝[i＋(－1)＋(－i)＋1]＋…＋[i＋(－1)＋(－i)＋1]＝0.

例2　解析：·＝·(1－2i)

＝(1＋2i)(1－2i)＋＝5＋＝5＋＝－i.

答案：－i

变式探究　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则(1＋2i)(x＋yi)＝4＋3i，

得解得

所以z＝2－i.

所以＝＝＋i.

答案：＋i

例3　解析：(1)由题意得1＋z＝i(1－z)，

∴z＝＝i，

∴|z|＝1.

(2)＝＝|2－3i|＝.

答案：(1)A　(2)

例4　解析：(1)＝＝i(1＋i)＝－1＋i，在复平面内，对应点的坐标为(－1,1)，位于第二象限．

(2)∵z＝(a－)＋ai为纯虚数，

∴∴a＝，

∴＝＝

＝＝＝－i.

答案：(1)B　(2)C

跟踪训练1　解析：z＝＝＝i(1－2i)＝2＋i，

∴＝2－i，

∴||＝|2－i|＝＝.

答案： B

解析：z1z2＝(1＋ai)(3＋2i)＝(3－2a)＋(3a＋2)i.

∵z1z2∈R，

∴3a＋2＝0，

∴a＝－.

答案： A　

解析：＋＋＋＝－＋－＝0.

答案： 0

题型三

例5　解析：(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，

∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.

∴得

∴b＝－2，c＝2.

(2)方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，

∴1－i也是方程的一个根．

跟踪训练2　解析：∵1＋i是方程ax2＋bx＋2＝0的根

∴a(1＋i)2＋b(1＋i)＋2＝0

即(b＋2)＋(2a＋b)i＝0

∴∴

∴a＋b＝1－2＝－1.

答案：A