北师大版 (2019)必修 第二册2.1 复数的加法与减法导学案

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复数的运算：掌握复数代数表示式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.
2.1 复数的加法与减法
[教材要点]
要点一 复数的加法与减法
1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，
则z1＋z2＝________________，z1－z2＝________________.
2．加法运算律：设z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝____________.
eq \x(状元随笔) 1.复数加法运算的理解
(1)复数的加法中规定，两复数相加，是实部与实部相加，虚部与虚部相加，复数的加法可推广到多个复数相加的情形．
(2)在这个规定中，当b ＝0，d ＝0时，则与实数的加法法则一致．
(3)实数加法的交换律、结合律在复数集C中仍然成立．
要点二 复数加减法的几何意义
若复数z1、z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up14(→))、eq \(OZ2,\s\up14(→))不共线，则复数z1＋z2是以eq \(OZ1,\s\up14(→))、eq \(OZ2,\s\up14(→))为两邻边的____________的对角线eq \(OZ,\s\up14(→))所对应的________，即复数的加法可以按照向量的________来进行，如图，这就是复数加法的几何意义．
这两个复数的差z1－z2与向量eq \(OZ1,\s\up14(→))－eq \(OZ,\s\up14(→))2(等于eq \(Z2Z1,\s\up14(→)))对应．作eq \(OZ,\s\up14(→))＝eq \(Z2Z1,\s\up14(→))，则点Z对应复数z1－z2(如图)，即复数(a－c)＋(b－d)i.
eq \x(状元随笔) 复数减法的几何定义的实质
(1)根据复数减法的几何意义知，两个复数对应向量的差所对应的复数就是这两个复数的差．
(2)在确定两复数的差所对应的向量时，应按照“首同尾连向被减”的方法确定．
[教材答疑]
[教材P170思考交流]
证明：对任意两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，(a，b，c，d∈R)
z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i
z2＋z1＝(c＋di)＋(a＋bi)＝(c＋a)＋(d＋b)i
所以z1＋z2＝z2＋z1，即复数的加法满足交换律．
[基础自测]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)两个复数的和(或差)仍然是一个确定的复数．( )
(2)两个虚数的和(或差)一定是虚数．( )
(3)复数的加法满足结合律，但减法不满足结合律．( )
(4)复数z是实数的充要条件是z＝eq \x\t(z).( )
2．(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝( )
A．2＋2i B．4－2i
C．2 D．0
3．在复平面内，复数1＋i与1＋3i分别对应向量eq \(OA,\s\up14(→))和eq \(OB,\s\up14(→))，其中O为坐标原点，则|eq \(AB,\s\up14(→))|＝( )
A.eq \r(2) B．2
C.eq \r(10) D．4
4．(2x＋3yi)－(3x－2yi)＋(y－2xi)－3xi＝________.(x，y∈R)
题型一 复数的加、减运算——自主完成
1．若z＋5－6i＝3＋4i，则复数z的值为( )
A．－2＋10i B．－1＋5i
C．－4＋10i D．－1＋10i
2．已知i是虚数单位，则复数z＝(3＋i)＋(－3－2i)的虚部是( )
A．1 B.eq \r(2) C．－1 D．－i
3．设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)且z1＋z2＝5－6i，则z1－z2＝________.
方法归纳
(1)复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；
(2)复数的加、减运算结果仍是复数；
(3)对应复数的加法(或减法)可以推广到多个复数相加(或相减)的混合运算；
(4)实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用．
题型二 复数加、减运算的几何意义——师生共研
例1 如图所示，在复平面内，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别对应复数0,3＋2i，－2＋4i.求：
(1)向量eq \(AO,\s\up14(→))对应的复数；
(2)向量eq \(CA,\s\up14(→))对应的复数；
(3)向量eq \(OB,\s\up14(→))对应的复数．
方法归纳
1．向量加、减运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加、减法几何意义的依据．
2．利用向量的加法“首尾相接”和减法“指向被减向量”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．
3．注意向量eq \(AB,\s\up14(→))对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．
跟踪训练1 (1)已知i为虚数单位，在复平面内，点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，若eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \(BC,\s\up14(→))，则点D对应的复数是( )
A．1－3i B．－3－i
C．3＋5i D．5＋3i
(2)如图所示，在复平面内的四个点O，A，B，C恰好为平行四边形的四个顶点，其中O为原点，A，B，C所对应的复数分别是zA＝4＋ai，zB＝6＋8i，zC＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则zA－zC＝________.
题型三 与复数模的几何意义有关的应用——师生共研
利用复数的代数形式表示复数的模，根据已知条件，列出方程(组)，解出未知数；也可利用复数的几何意义，借助图形，数形结合求解．
例2 设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，
|z1＋z2|＝eq \r(2)，求|z1－z2|.
方法归纳
1．设出复数z＝x＋yi(x，y∈R)，利用复数相等或模的概念，可把条件转化为x，y满足的关系式，利用方程思想求解，这是本章“复数问题实数化”思想的应用．
2．在复平面内，z1，z2对应的点为A、B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB①为平行四边形；②若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；③若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；④若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
跟踪训练2 已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.
易错辨析 对复数加、减运算的几何意义理解不准确致错
例3 复数z满足|z－1－i|＝1，则|z＋1＋i|的最小值为________．
解析：因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义得复数z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1为半径的圆．而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|的最小值为eq \r(1＋12＋1＋12)－1＝2eq \r(2)－1.
答案：2eq \r(2)－1
易错警示
§2 复数的四则运算
2．1 复数的加法与减法
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
1．(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i
2．z2＋z1 z1＋(z2＋z3)
要点二
平行四边形 复数 加法
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)√
2．解析：(3＋2i)－(2＋i)＋(1－i)＝(3－2＋1)＋(2－1－1)i＝2
答案：C
3．解析：eq \(AB,\s\up13(→))对应的复数为(1＋3i)－(1＋i)＝2i，故|eq \(AB,\s\up13(→))|＝|2i|＝2.
答案：B
4．解析：原式＝(2x－3x＋y)＋(3y＋2y－2x－3x)i
＝(y－x)＋5(y－x)i.
答案：(y－x)＋5(y－x)i
题型探究·课堂解透
题型一
1．解析：z＝3＋4i－(5－6i)＝－2＋10i.
答案：A
2．解析：z＝(3＋i)＋(－3－2i)＝(3－3)＋(1－2)i＝－i，
故复数z的虚部为－1.
答案：C
3．解析：∵z1＝x＋2i，z2＝3－yi，且z1＋z2＝5－6i，
∴(x＋3)＋(2－y)i＝5－6i，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝5，,2－y＝－6，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝8.))
∴z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.
答案：－1＋10i
题型二
例1 解析：(1)因为eq \(AO,\s\up13(→))＝－eq \(OA,\s\up13(→))，所以向量eq \(AO,\s\up13(→))对应的复数为－3－2i.
(2)因为eq \(CA,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))－eq \(OC,\s\up13(→))，所以向量eq \(CA,\s\up13(→))对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)因为eq \(OB,\s\up13(→))＝eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OC,\s\up13(→))，所以向量eq \(OB,\s\up13(→))对应的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
跟踪训练1 解析：(1)∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i,2＋i，∴eq \(BC,\s\up13(→))对应的复数为2＋2i.设D(x，y)，∵eq \(AD,\s\up13(→))＝eq \(BC,\s\up13(→))，
∴(x－1，y－3)＝(2,2)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1＝2，,y－3＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝5.))
∴点D对应的复数为3＋5i，故选C.
答案：(1)C
解析：(2)因为eq \(OA,\s\up13(→))＋eq \(OC,\s\up13(→))＝eq \(OB,\s\up13(→))，所以4＋ai＋(a＋bi)＝6＋8i.
因为a，b∈R，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋a＝6，,a＋b＝8，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝6.))所以zA＝4＋2i，zC＝2＋6i，
所以zA－zC＝(4＋2i)－(2＋6i)＝2－4i.
答案： (2)2－4i
题型三
例2 解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,c2＋d2＝1，,a＋c2＋b＋d2＝2，))
∴2ac＋2bd＝0，
∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2
＝a2－2ac＋c2＋b2－2bd＋d2＝2，
∴|z1－z2|＝eq \r(2).
方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4，
∴|z1－z2|2＝2，
∴|z1－z2|＝eq \r(2).
方法三：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up13(→))，eq \(OZ2,\s\up13(→))，
∵|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq \r(2)，∴eq \(OZ1,\s\up13(→))，eq \(OZ2,\s\up13(→))不共线，
以eq \(OZ1,\s\up13(→))，eq \(OZ2,\s\up13(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2，
∵|z1|＝|z2|＝1，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形，
∵|z1|2＋|z2|2＝|z1＋z2|2，∴∠Z1OZ2＝90°，
∴平行四边形OZ1ZZ2为正方形，∴|z1－z2|＝eq \r(2).
跟踪训练2 解析：方法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＋b2＝1，,c2＋d2＝1，,a－c2＋b－d2＝1，))
∴2ac＋2bd＝1，
∴|z1＋z2|2＝(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2＝3，
∴|z1＋z2|＝eq \r(3).
方法二：∵|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)＝4，
∴|z1＋z2|2＝3，∴|z1＋z2|＝eq \r(3).
方法三：在复平面内分别作出复数z1，z2对应的向量eq \(OZ1,\s\up13(→))，eq \(OZ2,\s\up13(→))，
∴eq \(OZ1,\s\up13(→))，eq \(OZ2,\s\up13(→))不共线，
以eq \(OZ1,\s\up13(→))，eq \(OZ2,\s\up13(→))为邻边作平行四边形OZ1ZZ2.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴平行四边形OZ1ZZ2是有一个内角为60°的菱形，
∴|z1＋z2|＝|OZ|
＝eq \r(|OZ1|2＋|ZZ1|2－2|OZ1|·|ZZ1|·cs 120°)＝eq \r(3).
易错原因
纠错心得
误认为复数z对应的点的轨迹是以点(1，－1)为圆心，1为半径的圆致错.
根据复数的几何意义知，|z|表示复数z对应的点Z与原点O的距离，也就是向量eq \(OZ,\s\up14(→))的模；|z－a－bi|(a，b∈R)表示复数z对应的点Z与复数a＋bi对应的点A间的距离|ZA|.