北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换本章综合与测试同步测试题

第四章　三角恒等变换

本章达标检测

(满分:150分;时间:120分钟)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.sin 17°·sin 223°+cos 17°·cos(-43°)等于(　　)

A.- B.

C.- D.

2.若2cosθ-=3cos θ,则tan θ=(　　)

A. B.

C.- D.

3.函数f(x)=1+sin2-的最小正周期为(　　)

A.2π B.π C. D.4π

4.已知α∈[0,π],且3sin =,则tan =(　　)

A.- B. C. D.2

5.函数f(x)=cos xcos +cosx+cos 在,上的最小值为(　　)

A.- B.-

C.-1 D.0

6.若α∈0,,且cos2α+cos+2α=,则tan α=(　　)

A. B. C. D.

7.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),若f+f=0,且f(x)在区间,上递减,则整数ω=(　　)

A.1 B.2 C.1或2 D.5

8.已知角α,β满足cos 2α+cos α=sin+β·sin-β+sin2β,且α∈(0,π),则α等于(　　)

A. B. C. D.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)

9.已知α∈(0,π),且cos α=-,则下列结论中正确的是(　　)

A.sin(π-α)= B.cos =

C.tan 2α= D.sinα+=-

10.已知sin 78°=m,则(　　)

A.sin 12°= B.cos 24°=m2+1

C.tan 78°=- D.cos 168°=-m

11.在非直角△ABC中,下列结论正确的是(　　)

A.sin A+cos A>0

B.cos(A-B)>cos Acos B

C.sin A=sin Bcos C+cos Bsin C

D.tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C

12.已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x,则(　　)

A.函数f(x)在区间0,上为增函数

B.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴

C.函数f(x)的图象可由函数y=sin 2x的图象向右平移个单位得到

D.对任意x∈R,恒有f+x+f(-x)=-1

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)

13.已知sin(θ+π)=,且θ为第四象限角,则tan(θ-π)等于　　　　. 

14.已知tan θ+=4,则cos2=　　　　. 

15.函数y=sin2x+2cos x在区间-,a上的值域为-,2,则a的取值范围是　　　　. 

16.已知函数f(x)=cos4x+sin2x,给出下列结论:①f(x)是偶函数;②函数f(x)的最小值为;③是函数f(x)的一个周期;④函数f(x)在0,内是减函数.其中正确结论的序号是　　　　. 

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知α∈(π,2π),且sin α+cos α=.

(1)求cos2α-cos4α的值;

(2)求sin的值.

18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x+2θ),其中θ为锐角,且f(0)=.

(1)求θ的值;

(2)求函数f(x)在-,0上的最值.

19.(本小题满分12分)已知0<α<<β<π,tan =,cos(β-α)=.

(1)求tan α,sin α的值;

(2)求β的值.

20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cos2x-cos2.

(1)求函数f(x)的最小正周期;

(2)求f(x)在上的值域.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2cos2x++cos2x-.

(1)求函数图象的对称轴方程;

(2)求函数y=f(-x)的单调递减区间.

22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin+sin+cos x.

(1)求函数f(x)的最大值;

(2)若f=-,当<x<时,求的值.

答案全解全析

第四章　三角恒等变换

 本章达标检测

1.B 2.D 3.D 4.B 5.A

6.B 7.B 8.C 9.ABD 10.AD

11.BCD 12.ABD   

一、单项选择题

1.B　sin 17°sin 223°+cos 17°cos(-43°)

=sin 17°sin(180°+43°)+cos 17°cos 43°

=sin 17°(-sin 43°)+cos 17°cos 43°

=cos 17°cos 43°-sin 17°sin 43°

=cos 60°=1/2.

2.D　因为2cos θ-π/3 =3cos θ,

所以2cos θcos π/3+2sin θsin π/3=3cos θ,即√3sin θ=2cos θ,故tan θ=sinθ/cosθ=2/√3=(2√3)/3.

3.D　由于f(x)=1+sin2 x/4-π/6 =1+(1"-" cos(x/2 "-"  π/3))/2=-1/2cos x/2-π/3 +3/2,于是最小正周期为2π/(1/2)=4π.

4.B　由于0≤α≤π,所以0≤α/2≤π/2,

故sin α/2≥0,cos α/2≥0,因此√(1+sinα)=√(sin^2  α/2+2sin" "  α/2 cos" "  α/2+cos^2  α/2)=sinα/2+cosα/2,即sin α/2+cos α/2=3sin α/2,即cos α/2=2sin α/2,故tan α/2=(sin" "  α/2)/(cos" "  α/2)=1/2.

5.A　f(x)=cos xcos π/12+cos x+π/2 cos 5π/12=cos xcos π/12-sin xsin π/12=cos x+π/12 ,当x∈ π/6,7π/12 时,f(x)单调递减,故当x=7π/12时,函数f(x)取最小值,最小值为cos 2π/3=-1/2.

6.B　由cos2α+cos(π/2+2α)=3/10,得cos2α-sin 2α=3/10,

即(cos^2 α"-" sin2α)/(sin^2 α+cos^2 α)=(cos^2 α"-" 2sinαcosα)/(sin^2 α+cos^2 α)=(1"-" 2tanα)/(tan^2 α+1)=3/10,

即3tan2α+20tan α-7=0,又α∈ 0,π/2 ,

所以tan α>0,得tan α=1/3.

7.B　f(x)=sin ωx+√3cos ωx=2sin ωx+π/3 ,令π/2+2kπ≤ωx+π/3≤2kπ+3π/2,k∈Z,当k=0时,π/6ω≤x≤7π/6ω,由于f(x)在区间 π/6,π/2 上单调递减,所以 π/6,π/2 ⊆ π/6ω,7π/6ω ,即{■(π/6ω≤π/6 "," @π/2≤7π/6ω "," )┤解得1≤ω≤7/3,所以ω=1或2.当ω=1时,f π/6 +f π/2 =3≠0,不符合题意;当ω=2时,满足f π/6 +f π/2 =0.故ω=2.

8.C　由于sin π/3+β •sin π/3-β +sin2β= √3/2cos β+1/2sin β  √3/2cos β-1/2•sin β +sin2β=3/4cos2β-1/4sin2β+sin2β=3/4cos2β+3/4sin2β=3/4,因此cos 2α+5/2•cos α=3/4,即2cos2α-1+5/2cos α=3/4,解得cos α=1/2或cos α=-7/4(舍去),又因为α∈(0,π),所以α=π/3.

二、多项选择题

9.ABD　由已知得sin(π-α)=sin α=√(1"-" cos^2 α)=3/5,故A正确;cos α/2=√((1+cosα)/2)=√10/10,故B正确;由α∈(0,π),cos α=-4/5得tan α=-3/4,所以tan 2α=2tanα/(1"-" tan^2 α)=-24/7,故C错误;sin α+π/4 =√2/2•(sin α+cos α)=-√2/10,故D正确.

10.AD　由sin 78°=m得cos 12°=m,所以sin 12°=√(1"-" m^2 ),故A正确;cos 24°=2cos212°-1=2m2-1,故B错误;tan 78°=sin78"°" /cos78"°" =m/√(1"-" m^2 ),故C错误;cos 168°=-cos 12°=-m,故D正确.

11.BCD　当A=150°时,sin A+cos A=1/2-√3/2<0,故A错误;由于cos(A-B)=cos Acos B+sin Asin B,而sin Asin B>0,所以cos(A-B)>cos Acos B,故B正确;sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,故C正确;tan A+tan B+tan C=tan(A+B)(1-tan Atan B)+tan C=-tan C(1-tan Atan B)+tan C=tan A•tan Btan C,故D正确.

12.ABD　由题意得f(x)=1/2sin 2x-(1+cos2x)/2

=√2/2sin 2x-π/4 -1/2.当x∈(0","  π/8)时,2x-π/4∈("-"  π/4 "," 0),函数f(x)为增函数,故A中说法正确;令2x-π/4=π/2+kπ,k∈Z,得x=3π/8+kπ/2,k∈Z,显然直线x=3π/8是函数f(x)图象的一条对称轴,故B中说法正确;函数y=√2/2sin 2x的图象向右平移π/8个单位得到函数y=√2/2•sin 2 x-π/8 =√2/2sin 2x-π/4 的图象,故C中说法错误;f π/4+x +f(-x)=√2/2•sin(2x+π/4)-1/2+√2/2sin("-" 2x"-"  π/4)-1/2=√2/2sin 2x+π/4 -√2/2sin 2x+π/4 -1=-1,故D中说法正确.故选ABD.

三、填空题

13.答案　-4/3

解析　由sin(θ+π)=4/5可知-sin θ=4/5,所以sin θ=-4/5,而θ为第四象限角,所以cos θ=3/5,于是tan(θ-π)=tan θ=sinθ/cosθ=-4/3.

14.答案　1/4

解析　∵tan θ+1/tanθ=4,∴sinθ/cosθ+cosθ/sinθ=4,

∴(sin^2 θ+cos^2 θ)/sinθcosθ=4,∴sin θcos θ=1/4,

∴cos2(θ+π/4)=cos(2θ+π/2)/2+1/2

=-sin2θ/2+1/2=-sin θcos θ+1/2=-1/4+1/2=1/4.

15.答案　 0,2π/3

解析　由已知得y=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,∵此函数在区间 -2π/3,a 上的值域为 -1/4,2 ,并且cos x取得最大值1,即x=2kπ,k∈Z时,函数值为2,

∴a≥0,又当x=-2π/3时,函数值为-1/4,当x=2π/3时,函数值为-1/4,∴a≤2π/3.∴a的取值范围是0≤a≤2π/3.

16.答案　①②③

解析　易知f(x)的定义域为R,其图象关于原点对称.又f(-x)=cos4(-x)+sin2(-x)=cos4x+sin2x=f(x),故函数f(x)是偶函数,故①正确;由于f(x)=(1-sin2x)2+sin2x=sin4x-sin2x+1= sin2x-1/2 2+3/4,且sin2x∈[0,1],所以当sin2x=1/2时,f(x)min=3/4,所以②正确;f x+π/2 =sin4 x+π/2 -sin2 x+π/2 +1=cos4x+1-cos2x=cos4x+sin2x,则f(x)=f x+π/2 ,故③正确;因为f π/4 =3/4,f π/2 =1,所以f π/4 <f π/2 ,所以④错误.

四、解答题

17.解析　(1)因为sin α+cos α=√2/4,

所以(sin α+cos α)2=1/8,

即1+2sin αcos α=1/8,

所以sin αcos α=-7/16.(2分)

故cos2α-cos4α=cos2α(1-cos2α)=(sin αcos α)2= -7/16 2=49/256.(5分)

(2)由题易得sin(α"-"  π/4)=√2/2(sin α-cos α),(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1-2×("-"  7/16)=15/8,(6分)

因为sin αcos α=-7/16<0,所以α∈(3π/2 "," 2π),所以sin α<0,cos α>0,(7分)

所以sin α-cos α=-√30/4,(8分)

因此sin(α"-"  π/4)=√2/2×("-"  √30/4)=-√15/4.(10分)

18.解析　(1)由f(0)=√2/2得sin θ+√2cos 2θ=√2/2,(1分)

即sin θ+√2(1-2sin2θ)=√2/2,

所以2√2sin2θ-sin θ-√2/2=0,(2分)

解得sin θ=√2/2或sin θ=-√2/4,(3分)

由于θ为锐角,所以sin θ=√2/2,(4分)

故θ=π/4.(5分)

(2)由(1)得f(x)=sin(x+π/4)+√2cos x+π/2 =sin x+π/4 -√2sin x=-√2/2sin x+√2/2cos x=-sin x-π/4 ,(7分)

由于x∈["-"  π/4 "," 0],所以x-π/4∈["-"  π/2 ",-"  π/4],(8分)

于是当x-π/4=-π/2,即x=-π/4时,f(x)取得最大值1,(10分)

当x-π/4=-π/4,即x=0时,f(x)取得最小值√2/2.(12分)

19.解析　(1)因为tan α/2=1/2,所以tan α=(2tan" "  α/2)/(1"-" tan^2  α/2)=4/3.(3分)

因为0<α<π/2,且sin2α+cos2α=1,

所以sin α=4/5.(6分)

(2)因为tan α=4/3,sin α=4/5,

所以cos α=3/5.(7分)

因为0<α<π/2<β<π,所以0<β-α<π,因为cos(β-α)=√2/10,所以sin(β-α)=(7√2)/10.(8分)

因此sin β=sin[α+(β-α)]=sin α•cos(β-α)+cos α•sin(β-α)=4/5×√2/10+3/5×(7√2)/10=√2/2,(10分)

故β=3π/4.(12分)

20.解析　(1)f(x)=cos2x-cos2(x"-"  π/3)=(1+cos2x)/2-(1+cos(2x"-"  2π/3))/2=1/2 cos 2x-cos 2x-2π/3  =1/2 cos 2x- -1/2•cos 2x+√3/2sin 2x  =-√3/4sin 2x+3/4•cos 2x=-√3/2sin 2x-π/3 ,(4分)

故函数f(x)的最小正周期T=2π/2=π.(6分)

(2)当x∈ -π/6,π/3 时,2x-π/3∈["-"  2π/3 ","  π/3],(7分)

所以sin 2x-π/3 ∈ -1,√3/2 ,(9分)

故-√3/2sin 2x-π/3 ∈ -3/4,√3/2 ,(11分)

故函数f(x)的值域是 -3/4,√3/2 .(12分)

21.解析　(1)f(x)=2cos2 x+π/24 +cos 2x-5π/12 =cos 2x+π/12 +1+cos 2x-5π/12

=sin 2x+π/12 +cos 2x+π/12 +1=√2•sin 2x+π/12+π/4 +1=√2sin 2x+π/3 +1.(3分)

令2x+π/3=kπ+π/2,k∈Z,(4分)

解得x=kπ/2+π/12,k∈Z,(5分)

故函数图象的对称轴方程为x=kπ/2+π/12(k∈Z).(6分)

(2)y=f(-x)=√2sin -2x+π/3 +1=-√2•sin 2x-π/3 +1,(7分)

令-π/2+2kπ≤2x-π/3≤π/2+2kπ,k∈Z,(9分)

解得-π/12+kπ≤x≤5π/12+kπ,k∈Z,(11分)

故函数y=f(-x)的单调递减区间是 -π/12+kπ,5π/12+kπ (k∈Z). (12分)

22.解析　(1)f(x)=sin xcosπ/3+cos xsinπ/3+sin xcosπ/3-cos xsinπ/3+cos x

=2sin xcosπ/3+cos x

=sin x+cos x

=√2sin(x+π/4),(3分)

∴函数f(x)的最大值为√2.(4分)

(2)结合(1)得f(x"-"  π/2)=√2sin(x"-"  π/4),

∴√2sin(x"-"  π/4)=-(3√2)/5,(5分)

∴sin(x"-"  π/4)=-3/5,即√2/2sin x-√2/2cos x=-3/5,∴sin x-cos x=-(3√2)/5,(6分)

两边平方得1-2sin xcos x=18/25,

∴2sin xcos x=7/25,(7分)

∴(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=32/25.

∵17π/12<x<7π/4,

∴sin x+cos x<0,∴sin x+cos x=-(4√2)/5,(8分)

∴(2sin^2 x"-" sin2x)/(tanx+1)=(2sin^2 x"-" 2sinxcosx)/(sinx/cosx+1)

=(2sinxcosx"(" sinx"-" cosx")" )/(sinx+cosx)

=(7/25×("-"  (3√2)/5))/("-"  (4√2)/5)=21/100.(12分)