北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换本章综合与测试学案

第4章 三角恒等变换

类型1　三角函数式的化简

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

(1)一看“角”，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等．

【例1】　化简：(0<θ<π).

[解]　原式＝

＝＝.

因为0<θ<π，所以0<<，所以cos  >0，所以原式＝－cos θ.

1．化简：.

[解]　原式＝

＝＝＝cos 2x.

类型2　三角函数求值

三角函数求值的三种情况

(1)“给角求值”：一般给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难求值的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，一般用已知角表示所求角．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再根据角的范围，确定角．

【例2】　(1)已知＝－4，求(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)的值．

(2)已知sin (－α)＝，0<α<，求 的值．

[解]　(1)法一：由已知得＝－4，∴2＋tan θ＝－4(1－tan θ)，解得tan θ＝2.

∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ )＝4sin θcos θ－sin2θ－3cos2θ

＝＝＝＝.

法二：由已知得＝－4，解得tan θ＝2.

即＝2，∴sin θ＝2cos θ.

∴(sin θ－3cos θ)(cos θ－sin θ)

＝(2cos θ－3cos θ)(cos θ－2cos θ)＝cos2θ＝＝＝.

(2)∵cos＝sin ＝，0<α<，

∴sin ＝ ，

又∵cos 2α＝sin ＝sin 2，

∴＝

＝2sin ＝ ．

2．的值为(　　)

A．－    B．    C．    D．－

B　[原式＝＝＝＝.]

类型3　三角恒等变换的综合应用

利用三角恒等变换研究函数性质的方法步骤：

(1)运用和、差、倍角公式化简；

(2)统一把f(x)化成f(x)＝a sin ωx＋b cos ωx＋k的形式；

(3)利用辅助角公式化为f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，研究其性质．

【例3】　设函数f(x)＝sin ＋sin ，其中0<ω<3.已知f＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

[解]　 (1)因为f(x)＝sin ＋sin ，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx

＝＝sin .

因为f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin ，所以g(x)＝sin ＝sin .

因为x∈，

所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

3．已知函数f(x)＝sin sin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)讨论f(x)在上的单调性．

[解]　(1)f(x)＝sin sin x－cos2x

＝cosx sin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin －，

因此f(x)的最小正周期为π，最大值为.

(2)当x∈时，0≤2x－≤π，从而

当0≤2x－≤，即≤x≤时，f(x)单调递增，

当≤2x－≤π，即≤x≤时，f(x)单调递减．

综上可知，f(x)在上单调递增，在上单调递减．

1．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tan θ－tan ＝7，则tan θ＝(　　)

A．－2    B．－1    C．1    D．2

D　[由已知得2tan θ－＝7，得tan  θ＝2.]

2．(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则(　　)

A．cos 2α＞0    B．cos 2α＜0

C．sin 2α＞0    D．sin 2α＜0

D　[法一：由题意，知－＋2kπ<α<2kπ(k∈Z)，所以－π＋4kπ<2α<4kπ(k∈Z)，所以cos 2α≤0或cos 2α>0，sin 2α<0，故选D.

法二：当α＝－时，cos 2α＝0，sin 2α＝－1，排除A，B，C，故选D.]

3．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝(　　)

A．    B．    C．    D．

A　[∵3cos 2α－8cos α＝5，∴3(2cos2α－1)－8cosα＝5，∴6cos2α－8cos α－8＝0，∴3cos2α－4cosα－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－.∵α∈(0，π)，∴sin α＝＝.故选A.]

4．(2020·江苏卷)已知sin2＝，则sin2α的值是________．

　[∵sin2＝＝(1＋sin 2α)

∴(1＋sin 2α)＝∴sin 2α＝，故答案为：.]

5．(2020·浙江卷)已知tan θ＝2，则cos 2θ＝________；tan ＝________．

(1)－　(2)　[cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝＝－，tan＝＝＝，故答案为：－，.]

6．(2020·北京卷)若函数f(x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．

(符合2kπ＋，k∈Z都可以，答案不唯一)　[因为f(x)＝cos φsin x＋(sin φ＋1)cos x＝sin (x＋θ)，所以＝2，解得sin φ＝1，故可取φ＝.]