北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换本章综合与测试习题

第四章　三角恒等变换

专题强化练8　倍角公式与半角公式的综合应用

一、选择题

1.(2020四川成都七中高一检测,)若x=,则sin4x-cos4x的值为(　　)

A. B.- C. D.-

2.(2020四川绵阳高一期中,)若sin=,α∈,则tan α(cos 2α+1)=(　　)

A.- B.- C. D.

3.(2020湖北孝感名校联考,)△ABC中,sin A-cos A=-,则tan 2A的值为(　　)

A. B.- C.- D.

4.(2020山东日照高一模拟,)已知α∈π,,且sin(α+β)cos β-cos(α+β)sin β=-,则tan 的值是(　　)

A.3 B.2 C.-2 D.-3

5.(多选)(2020吉林省实验中学高一期末,)下列各式中值为的是(　　)

A.2sin 75°cos 75°

B.1-2sin2

C.sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°

D.tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°

6.(2020河北保定高三模拟,)已知函数f(x)=2sin ωx·cos2-sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数,且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,则ω的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

7.(多选)(2020山东青岛高三一模,)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x-cos2x,x∈R,则(　　)

A.-2≤f(x)≤2

B.f(x)在区间(0,π)上只有1个零点

C.f(x)的最小正周期为π

D.x=为f(x)图象的一条对称轴

二、填空题

8.(2020华南师范大学附属中学高二上期中,)若tan α=2,则=　　　　. 

9.(2020安徽合肥一六八中学高一期末,)若sin α+cos α=,0<α<π,则sin 2α+cos 2α=　　　　. 

10.(2020河北沧州高一期末,)+=　　　　. 

三、解答题

11.(2020江西临川第一中学高一上期末,)已知向量m=(2cos x,1),n=(cos x,sin 2x),f(x)=m·n.

(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称中心;

(2)若f=+1,其中α∈-,,求cos α的值.

12.(2020山东东营高一期末,)已知函数f(x)=1-2sin xcos x-2cos2x+m在R上的最大值为3.

(1)求m的值及函数f(x)的单调递增区间;

(2)若锐角△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且f(A)=0,求的取值范围.

答案全解全析

第四章　三角恒等变换

专题强化练8　倍角公式与半角公式的综合应用

1.B 2.B 3.A 4.C 5.AC

6.D 7.ACD   

一、选择题

1.B　∵x=π/12,∴sin4x-cos4x=(sin2x-cos2x)•(sin2x+cos2x)=sin2x-cos2x=-cos 2x=-cos π/6=-√3/2.

2.B　sin(π/2+α)=cos α=1/3,∵α∈ -π/2,0 ,∴sin α=-√(1"-" cos^2 α)=-(2√2)/3,

∴tan α(cos 2α+1)=2tan α•cos2α=2sin α•cos α=2×("-"  (2√2)/3)×1/3=-(4√2)/9.

3.A　∵sin A-cos A=-1/5,∴(sin A-cos A)2=1/25,∴sin Acos A=12/25,∵角A为三角形的内角,∴sin A>0,cos A>0,又(sin A+cos A)2=1+2sin Acos A=49/25,∴sin A+cos A=7/5,∴sin A=3/5,cos A=4/5,∴tan A=3/4.∴tan 2A=2tanA/(1"-" tan^2 A)=24/7.

4.C　由已知得sin[(α+β)-β]=sin α=-4/5,因为α∈ π,3π/2 ,所以cos α=-√(1"-" sin^2 α)=-3/5,所以tan α/2=sinα/(1+cosα)=("-"  4/5)/(1"-"  3/5)=-2.

5.AC　对于A选项,2sin 75°cos 75°=sin 150°=sin 30°=1/2,符合题意;对于B选项,1-2sin2π/12=cos π/6=√3/2,不符合题意;对于C选项,sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin 30°=1/2,符合题意;对于D选项,因为tan 45°=(tan20"°" +tan25"°" )/(1"-" tan20"°•" tan25"°" )=1,所以tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°=1,不符合题意.故选AC.

6.D　f(x)=2sin ωx•cos2(ωx/2 "-"  π/4)-sin2ωx=sin ωx• 1+cos ωx-π/2  -sin2ωx=sin ωx(1+sin ωx)-sin2ωx=sin ωx,当x∈["-"  2π/5 ","  5π/6]时,∵ω>0,∴-2/5πω≤ωx≤5/6πω,∵f(x)在 -2π/5,5π/6 上为增函数,∴{■(5/6 πω≤π/2 "," @"-"  2/5 πω≥"-"  π/2 "," )┤∴0<ω≤3/5.当ωx=π/2+2kπ(k∈Z),即x=π/2ω+2kπ/ω(k∈Z)时,f(x)取得最大值,又f(x)在区间[0,π]上恰好取得一次最大值,∴{■(π/2ω≤π"," @π/2ω+2π/ω>π"," )┤解得1/2≤ω<5/2.综上得1/2≤ω≤3/5.

7.ACD　f(x)=sin2x+2√3sin xcos x-cos2x=√3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-π/6 ,x∈R,故-2≤f(x)≤2,故A正确.令2x-π/6=kπ,k∈Z,得x=kπ/2+π/12,k∈Z,故f(x)在区间(0,π)上有2个零点,故B错误.易得f(x)的最小正周期为π,故C正确.f π/3 =2sin 2×π/3-π/6 =2,所以x=π/3为f(x)图象的一条对称轴,故D正确.故选ACD.

二、填空题

8.答案　-1/2

解析　因为tan α=2,所以(1"-" sin2α)/(2cos^2 α"-" sin2α)=("(" sinα"-" cosα")" ^2)/(2cosα"(" cosα"-" sinα")" )=(cosα"-" sinα)/2cosα=1/2(1-tan α)=-1/2.

9.答案　-(8+√17)/9

解析　由sin α+cos α=1/3,两边平方,得sin2α+cos2α+2sin αcos α=1/9,∴2sin αcos α=sin 2α=-8/9,

∵α∈(0,π),∴α∈ π/2,π ,结合sin α+cos α=1/3>0,可得α∈ π/2,3π/4 ,

则2α∈ π,3π/2 ,

∴cos 2α=-√(1"-" ("-"  8/9) ^2 )=-√17/9.

∴sin 2α+cos 2α=-8/9+("-"  √17/9)=-(8+√17)/9.

10.答案　-4√6

解析　原式=√6/sin70"°" -(3√2)/cos70"°"

=(√6 cos70"°-" 3√2 sin70"°" )/(sin70"°" cos70"°" )

=(2√6(cos70"°" ×1/2 "-" sin70"°" ×√3/2))/(1/2 sin140"°" )

=(2√6×cos"(" 70"°" +60"°)" )/(1/2 sin40"°" )

=(2√6×cos130"°" )/(1/2 sin40"°" )=("-" 2√6 cos50"°" )/(1/2 sin40"°" )

=("-" 2√6 sin40"°" )/(1/2 sin40"°" )=-4√6.

三、解答题

11.解析　(1)由题意得f(x)=m•n=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+√2sin(2x+π/4),

则最小正周期T=2π/2=π,

其图象的对称中心的横坐标满足:2x+π/4=kπ,k∈Z,得x=kπ/2-π/8,k∈Z,

故其图象的对称中心为(kπ/2 "-"  π/8 "," 1)(k∈Z).

(2)由f(α/2)=(3√2)/5+1可得sin α+π/4 =3/5,

∵α∈("-"  π/2 ","  π/2),∴α+π/4∈ -π/4,3π/4 ,

而y=sin(x+π/4)在("-"  π/2 ","  π/4)上单调递增,值域为("-"  √2/2 "," 1);

y=sin(x+π/4)在(π/4 ","  π/2)上单调递减,值域为(√2/2 "," 1).

∵0<3/5<√2/2,∴α+π/4∈(0","  π/4),

则cos(α+π/4)>0,

∴cos(α+π/4)=4/5,∴cos α=cos α+π/4-π/4 =cos α+π/4 cos π/4+sin α+π/4 •sin π/4=4/5×√2/2+3/5×√2/2=(7√2)/10.

12.解析　(1)f(x)=1-2√3sin xcos x-2cos2x+m=-(√3sin 2x+cos 2x)+m=-2sin 2x+π/6 +m,

因为-1≤sin 2x+π/6 ≤1,所以f(x)的最大值为2+m,

所以2+m=3,所以m=1,

因此f(x)=-2sin(2x+π/6)+1,

令2kπ+π/2≤2x+π/6≤2kπ+3π/2,k∈Z,

得kπ+π/6≤x≤kπ+2π/3,k∈Z,

因此函数f(x)的单调递增区间为[kπ+π/6 "," kπ+2π/3],k∈Z.

(2)因为-2sin(2A+π/6)+1=0,

所以sin(2A+π/6)=1/2,

由0<A<π/2得π/6<2A+π/6<7π/6,因此2A+π/6=5π/6,所以A=π/3.

b/c=sinB/sinC=sin(π/3+C)/sinC

=(√3/2 cosC+1/2 sinC)/sinC=√3/2tanC+1/2.

因为△ABC为锐角三角形,所以{■(0<C<π/2 "," @0<B=2π/3 "-" C<π/2 "," )┤解得π/6<C<π/2,

所以tan C>√3/3,所以1/2<b/c<2.