数学北师大版 (2019)第四章 三角恒等变换本章综合与测试当堂达标检测题

第四章　三角恒等变换

专题强化练6　同角三角函数关系式的应用

一、选择题

1.(2020广西桂林高一期中,)已知向量a=(3,4),b=(sin θ,cos θ),且a∥b,则tan θ=(　　)

A. B. C.- D.-

2.(2020福建宁德高一期末,)已知=,则的值等于(　　)

A. B.- C. D.-

3.(2020甘肃兰州一中高一检测,)若tan2x-sin2x=4,则tan2x·sin2x的值等于(　　)

A.-4 B.4 C.- D.

4.(2020陕西西安高级中学高一期中,)已知tan x=sinx+,则sin x=(　　)

A. B. C. D.

5.(2020山东威海高一期中,)若cos(-80°)=k,那么tan 100°=(　　)

A. B.- C. D.-

6.(2020山西高平高一期末,)函数y=-sin2x-3cos x的最小值是(　　)

A.- B.-2 C. D.-

7.(多选)(2020山东潍坊高一期中,)若sin α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有(　　)

A.tan α= B.cos α=

C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=-

8.(2020四川南充高一期中,)若sin θ+sin2θ=1,则cos2θ+cos6θ+cos8θ的值等于(　　)

A.0 B.1 C.-1 D.

9.(2020河北石家庄高三一模,)已知tan α+=4,则sin α+cos α=(　　)

A. B.- C. D.-

10.(2020河北衡水武邑高一期中,)已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=(　　)

A.- B.- C. D.

二、填空题

11.(2020山东潍坊高一期中,)函数y=sin2x+2cos x的最大值为　　　　. 

三、解答题

12.(2020浙江宁波高一期末,)化简+.

13.(2020江苏扬州高一期末,)已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.

(1)求g(a);

(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.

答案全解全析

第四章　三角恒等变换

专题强化练6　同角三角函数

关系式的应用

1.A 2.A 3.B 4.B 5.B

6.A 7.AB 8.B 9.B 10.A

一、选择题

1.A　因为a∥b,所以3cos θ=4sin θ,故tan θ=3/4.

2.A　因为cosα/(1+sinα)•cosα/(1"-" sinα)=(cos^2 α)/(1"-" sin^2 α)=(cos^2 α)/(cos^2 α)=1,且cosα/(1+sinα)=√3,所以cosα/(1"-" sinα)=√3/3.

3.B　因为tan2x-sin2x=4,所以tan2x•sin2x=tan2x(1-cos2x)=tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=4.

4.B　由已知得tan x=cos x,即sinx/cosx=cos x,所以sin x=cos2x,即sin x=1-sin2x,所以sin x=(√5 "-" 1)/2 sin x=("-" √5 "-" 1)/2舍去 .

5.B　cos(-80°)=cos 80°=k,sin 80°=√(1"-" k^2 ),tan 80°=√(1"-" k^2 )/k,tan 100°=-tan 80°=-√(1"-" k^2 )/k.

6.A　y=5/4-(1-cos2x)-3cos x=cos2x-3cos x+1/4=(cosx"-"  3/2)^2-2,-1≤cos x≤1,所以当cos x=1时,ymin=(1"-"  3/2)^2-2=-7/4.

7.AB　因为sin α=4/5,且α为锐角,

所以cos α=√(1"-" sin^2 α)=√(1"-" (4/5)^2 )=3/5,故B正确;tan α=sinα/cosα=(4/5)/(3/5)=4/3,故A正确;sin α+cos α=4/5+3/5=7/5≠8/5,故C错误;sin α-cos α=4/5-3/5=1/5≠-1/5,故D错误.故选AB.

8.B　因为sin θ+sin2θ=1,sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=cos2θ,所以原式=sin θ+sin3θ+sin4θ=sin θ+sin2θ(sin θ+sin2θ)=sin θ+sin2θ=1.

9.B　∵tan α+1/tanα=4,∴(tan^2 α+1)/tanα=4,∴sin αcos α=sinαcosα/(sin^2 α+cos^2 α)=tanα/(tan^2 α+1)=1/4,

∴(sin α+cos α)2=1+2×1/4=3/2,

又∵α∈ π,3π/2 ,∴sin α<0,cos α<0,

∴sin α+cos α=-√6/2.

10.A　∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+((3sin^2 α)/8)^2=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,

解得sin2α=8/9或sin2α=-8(舍去).

又∵α是第四象限角,

∴sin α=-(2√2)/3,

∴cos(α+(2" " 019π)/2)=cos(α+1" " 009π+π/2)

=-cos(α+π/2)=sin α=-(2√2)/3.

二、填空题

11.答案　7/4

解析　当π/3≤x≤4π/3时,cos x∈ -1,1/2 ,因为函数y=sin2x+2cos x=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2(π/3≤x≤4π/3),所以当cos x=1/2,即x=π/3时,函数y取得最大值,为-1/4+2=7/4.

三、解答题

12.解析　原式=

√("(" sin^2 x")" ^2+4cos^2 x)+√("(" cos^2 x")" ^2+4sin^2 x)

=√("(" 1"-" cos^2 x")" ^2+4cos^2 x) +√("(" 1"-" sin^2 x")" ^2+4sin^2 x)

=√("(" 1+cos^2 x")" ^2 )+√("(" 1+sin^2 x")" ^2 )

=1+cos2x+1+sin2x=3.

13.解析　(1)f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x)=2cos2x-2acos x-2a-1,令t=cos x,t∈[-1,1],

则y=2t2-2at-2a-1=2(t"-"  a/2)^2-a^2/2-2a-1,t∈[-1,1].

当a/2<-1,即a<-2时,ymin=1;

当-1≤a/2≤1,即-2≤a≤2时,ymin=-a^2/2-2a-1;

当a/2>1,即a>2时,ymin=-4a+1.

所以g(a)={■(1"," a<"-" 2"," @"-"  a^2/2 "-" 2a"-" 1",-" 2≤a≤2"," @"-" 4a+1"," a>2"." )┤

(2)由(1)及g(a)=1/2得{■("-"  a^2/2 "-" 2a"-" 1=1/2 "," @"-" 2≤a≤2)┤或{■("-" 4a+1=1/2 "," @a>2"," )┤解得a=-1,此时f(x)=2cos2x+2cos x+1=2(cosx+1/2)^2+1/2.

所以当cos x=1时,f(x)max=5.