高中数学北师大版 (2019)必修 第二册第四章 三角恒等变换本章综合与测试当堂检测题

微专题强化练(二)　三角恒等变换的几个技巧

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．若π＜α＜2π，则化简的结果是(　　)

A．sin       B．cos

C．－cos      D．－sin 

C　[∵π＜α＜2π，∴＜＜π，∴cos ＜0，

原式＝＝＝－cos .故选C.]

2．已知β∈(0，)，满足tan (α＋β)＝，sin  β＝，则tan α等于(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[因为β∈(0，)，sin β＝，所以cos β＝，所以tan β＝＝.

又因为tan (α＋β)＝，

所以tan α＝tan [(α＋β)－β]＝＝＝，故选B.]

3．已知cos (＋α)＝，则cos (－α)的值为(　　)

A．－    B．－    C．    D．

B　[∵(＋α)＋(－α)＝π，∴－α＝π－(＋α).

∴cos (－α)＝cos [π－(＋α)]＝－cos (＋α)＝－，即cos (－α)＝－.]

4．若0<α<，－<β<0，cos (＋α)＝，cos (－)＝，则cos (α＋)等于(　　)

A．    B．－    C．    D．－

C　[∵0<α<，∴<α＋<.

∵cos (＋α)＝，∴sin (＋α)＝.

∵－<β<0，∴<－<.

∵cos (－)＝，∴sin (－)＝.

∴cos (α＋)＝cos [(＋α)－(－)]

＝cos (＋α)cos (－)＋sin (＋α)sin (－)

＝×＋×＝.]

5．已知α，β∈(0，)，＝，且3sinβ＝sin (2α＋β)，则α＋β的值为(　　)

A．    B．    C．    D．

B　[由题意得tan α＝tan (2·)＝＝，

∵α∈(0，)，∴cosα＝，sin α＝，

由3sin  β＝sin (2α＋β)得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，

即3sin (α＋β)cos α－3cos (α＋β)sin  α＝sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin  α，sin (α＋β)cos α＝2cos (α＋β)sin  α，

∴＝，tan (α＋β)＝1，又0＜α＋β＜，∴α＋β＝.]

二、填空题

6.··＝________．

tan 　[原式＝··＝·＝·＝＝tan .]

7．若sin (π－α)＝，α∈(0，)，则sin  2α－cos2的值为________．

　[∵sin(π－α)＝，∴sin  α＝，

又∵α∈(0，)，∴cos α＝＝(舍负)，

因此，sin2α－cos2＝2sin  αcos α－(1＋cos α)＝2××－×(1＋)＝－＝.]

8.＝________．

－4　[原式＝

＝

＝＝＝＝－4.]

三、解答题

9．已知sin (－x)＝，0<x<，求的值．

[解]　原式＝＝

＝2sin(＋x)＝2cos(－x)，

∵sin (－x)＝，且0＜x＜，∴－x∈(0，).

∴cos (－x)＝＝，

∴原式＝2×＝.

10．求函数f(x)＝sin(x－20°)－cos (x＋40°)的最大值．

[解]　f(x)＝sin (x－20°)－cos [(x－20°)＋60°]

＝sin (x－20°)－sin (x－20°)－cos (x－20°)cos 60°＋sin (x－20°)sin  60°

＝[sin (x－20°)－cos (x－20°)]＝sin (x－65°)，

当x－65°＝k·360°＋90°，即x＝k·360°＋155°(k∈Z)时，f(x)有最大值.