数学必修 第二册第四章 三角恒等变换本章综合与测试同步测试题

第四章　三角恒等变换

本章复习提升

易混易错练

易错点一　忽视角的范围致误

1.(2020湖北武汉高一期中,)已知tan 160°=k,则sin 20°=(　　)

A. B.-

C.- D.

2.(2020山东淄博高一期末,)已知θ∈(0,π),cos-θ=-,则tanθ+=　　　　. 

3.(2020江苏扬州高一期中,)已知0<α<,-<β<0,cos=,cos=.

(1)求cos α的值;

(2)求cos的值.

易错点二　忽视角的特殊关系致误

4.(2020安徽合肥高一期中,)若sin=,则cos=(　　)

A.- B. C.- D.

5.(2020湖南长沙高一期末,)若cos=,sin=,α∈,β∈,则cos(α+β)=(　　)

A. B.- C.- D.

6.(2020内蒙古赤峰高一期中,)已知α,β为锐角,sin α=,cos(α+β)=.

(1)求cos的值;

(2)求sin β的值.

易错点三　忽视隐含条件致误

7.(2020山东济南高一期末,)已知tan α,tan β是方程8x2+7x+1=0的两个实数根,-<α<,-<β<,求α+β的值.

思想方法练

一、分类讨论思想在三角恒等变换中的运用

1.()已知2sin θ-cos θ=1,求的值.

2.()已知函数f(x)=cos(x+θ)为奇函数,且 f =0,其中a∈R,θ∈(0,π).

(1)求a,θ的值;

(2)若α∈,f+coscos 2α=0,求cos α-sin α的值.

二、函数与方程思想在三角恒等变换中的运用

3.()若sin3θ+cos3θ=1,则sin θ+cos θ的值为　　　　. 

4.()已知θ是钝角,求sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围.

三、转化与化归思想在三角恒等变换中的运用

5.()函数y=2cos2+1的最小正周期是(　　)

A.4π B.2π C.π D.

6.()已知α为锐角,且sin α·(-tan 10°)=1,则α=　　　　. 

四、数形结合思想在三角恒等变换中的运用

7.(2019山东烟台栖霞一中高一下期末,)若函数f(x)=sin x+cos x+a在(0,2π)内有两个不同的零点α,β.

(1)求实数a的取值范围;

(2)求tan(α+β)的值.

答案全解全析

第四章　三角恒等变换

本章复习提升

易混易错练

1.B　因为tan 160°=-tan 20°=k,所以tan 20°=-k,k<0,又tan 20°=,所以cos 20°=,所以sin220°+2=1,解得sin220°=,因为sin 20°>0,

所以sin 20°=-.

2.答案　

解析　因为θ∈(0,π),所以-<-θ<,又因为cos-θ=-,所以<-θ<,因此sin-θ==,所以tan-θ=-,故tanθ+=tanπ--θ=-tan-θ=.

3.解析　(1)∵0<α<,

∴<+α<.

∵cos+α=,

∴sin+α=,

∴cos α=cos+α-

=cos+αcos +sin+αsin

=×+×=.

(2)∵-<β<0,∴<-<.

∵cos-=,

∴sin-=.

∴cosα+=cos+α--=cos+αcos-+sin+αsin-

=×+×=.

4.A　∵sin-α=cos--α=cos+α=,

∴cos+2α=cos 2+α

=2cos2+α-1=2×2-1=-.

故选A.

5.C　因为α∈,,

所以-α∈-,0,

所以sin-α=-=-.

因为β∈0,,

所以+β∈,,

所以cos+β==,

所以cos(α+β)=cos+β--α=cos+βcos-α+sin+βsin-α=×+×-=-,故选C.

6.解析　(1)∵α为锐角,sin α=,

∴cos α==.

∴cosα-=cos αcos+sin αsin

=×+×=.

(2)∵α,β为锐角,∴α+β∈(0,π),

由cos(α+β)=得sin(α+β)==,

∴sin β=sin[(α+β)-α]

=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α

=×-×=.

7.解析　由题意得tan α+tan β=-<0,

tan αtan β=>0,

所以tan α<0,tan β<0,

因为-<α<,-<β<,所以-<α<0,-<β<0,所以-π<α+β<0.

又tan(α+β)===-1,

所以α+β=-.

思想方法练

1.解析　由2sin θ-cos θ=1,得4sin ·cos =2cos2,所以2sin =cos 或cos =0.

原式=

=

=

=,

当2sin =cos 时,原式=2;

当cos =0时,原式=0.

综上,的值为0或2.

2.解析　(1)因为f(x)=a+2cos2·cos(x+θ)是奇函数,

所以a+2cos2cos(x+θ)

=-a+2cos2cos(-x+θ),

整理得cos xcos θ=0,所以cos θ=0.

又θ∈(0,π),所以θ=,

所以f(x)=-a+2cos2sin x,

由f=0,得-(a+1)=0,即a=-1.

(2)由(1)知f(x)=-sin 2x,

因为f++cosα+cos 2α=0,

所以sinα+=cosα+cos 2α.

因为cos 2α=sin2α+ =sin 2α+=2sinα+cosα+,

所以sinα+=cos2α+·sinα+,

又α∈,所以α+∈,所以sinα+=0或cos2α+=.

①由sinα+=0,<α+<,得α+=π,所以α=,

所以cos α-sin α=cos -sin =-;

②由cos2=,<α+<,

得cosα+=-,

所以(cos α-sin α)=-,

所以cos α-sin α=-.

综上,cos α-sin α的值为-或-.

3.答案　1

解析　因为sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)·(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ),

所以(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)=1.

设sin θ+cos θ=x,则x1-=1,

整理得x3-3x+2=0,即(x-1)2(x+2)=0,

由于sin θ+cos θ=x∈[-,],

所以x+2≠0,

故x=1,即sin θ+cos θ=1.

4.解析　令sin θ+cos θ=t,则sin θcos θ=,

所以sin θ+cos θ+sin θcos θ=t2+t-.

因为θ∈,π,

所以θ+∈,,

所以sinθ+∈-,,所以t=sin θ+cos θ=sinθ+∈(-1,1).

所以t2+t-=(t+1)2-1∈(-1,1),

故sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是(-1,1).

5.B　∵y=2cos2+1=2cos2-1+2=cos x+2,

∴函数的最小正周期T=2π.

6.答案　40°

解析　由已知得sin α=======sin 40°,由于α为锐角,所以α=40°.

7.解析　(1)由题意得sin x+cos x=2·sin x+cos x=2sinx+.

∵f(x)在(0,2π)内有两个不同的零点,

∴关于x的方程sin x+cos x+a=0在(0,2π)内有两个相异实根.

∴方程sinx+=-在(0,2π)内有两个相异实根,

在同一平面直角坐标系中作出y=-与y=sinx+,x∈(0,2π)的图象,如图.

由图可得-1<-<1,且-≠,

解得-2<a<2,且a≠-.

∴实数a的取值范围为(-2,-)∪(-,2).

(2)∵α、β是方程sin x+cos x+a=0的两个相异实根,

∴sin α+cos α+a=0,①

sin β+cos β+a=0,②

①-②得sin α-sin β+(cos α-cos β)=0,

∴2sin cos -2sinsin =0,

又sin ≠0,∴tan =,

∴tan(α+β)==.