北师大版高中数学必修第二册第四章三角恒等变换课时学案

2.3　三角函数的叠加及其应用

2.4　积化和差与和差化积公式

　三角函数的叠加及其应用

[问题1] 由sin(30°+α)=cos α+sin α,cos α+sin α=sin(30°+α),请你试着概括出形如asin α+bcos α的三角函数式化为一个角的三角函数式的方法.

知识点1:辅助角公式

asin α+bcos α=sin(α+)(a,b不同时为零),其中角所在的象限由点(a,b)所在的象限确定,角的值由tan =确定.

[例1] 已知函数f(x)=cos(ωx-)-cos ωx(0<ω<3)的图象过点P(,0),若要得到一个奇函数的图象,则需将函数f(x)的图象(　　)

(A)向左平移个单位长度

(B)向右平移个单位长度

(C)向左平移个单位长度

(D)向右平移个单位长度

解析:因为f(x)=cos(ωx-)-cos ωx=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-),

又因为过点P(,0),

故f()=2sin(ω-)=0,

即ω-=0+kπ(k∈Z),解得ω=+3k(k∈Z),

又因为0<ω<3,令k=0,解得ω=,

所以f(x)=2sin(x-)=2sin[(x-)],

故若要得到一个奇函数的图象,则需将函数f(x)的图象向左平移个单位长度.故选C.

变式训练1-1:将函数f(x)=sin x-cos x的图象的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,再由g(x)的图象　　　　单位长度可得y=cos 2x+sin 2x的图象(　　) 

(A)向左平移个 (B)向左平移个

(C)向右平移个 (D)向右平移个

解析:化简f(x)=sin x-cos x=sin(x-),

函数f(x)图象的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到g(x)=sin(2x-).

又y=cos 2x+sin 2x=sin(2x+),

故函数g(x)=sin(2x-)的图象向左平移个单位长度得到g(x)=sin[2(x+)-]=sin(2x+).故选A.

sin α±cos α=sin(α±),sin α±cos α=2sin(α±),sin α±cos α=2sin(α±).

　三角函数的积化和差公式

[问题2] 根据已经学习过的公式:

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β;①

cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β;②

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β;③

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.④

在上述公式的右端含有cos αcos β,sin αsin β,sin αcos β,cos αsin β,从方程的观点出发,请你试着把它们解出来.

知识点2:三角函数的积化和差公式

cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)];

sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)];

sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)];

cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].

[例2] sin 105°cos 75°=　　　　,2cos 37.5°cos 22.5°=　　　　.　 

解析:sin 105°cos 75°=[sin(105°+75°)+sin(105°-75°)]=(sin 180°+sin 30°)=.

2cos 37.5°cos 22.5°

=cos(37.5°+22.5°)+cos(37.5°-22.5°)

=cos 60°+cos 15°

=+cos(45°-30°)

=+cos 45°cos 30°+sin 45°sin 30°

=.

答案:　

变式训练2-1:sin(+α)cos(+β)化为和差的结果是(　　)

(A)sin(α+β)+cos(α-β)

(B)cos(α+β)+sin(α-β)

(C)sin(α+β)+sin(α-β)

(D)cos(α+β)+cos(α-β)

解析:原式=[sin(+α+β)+sin(α-β)]=cos(α+β)+sin(α-β).故选B.

积化和差公式实际上是两角和与差的正弦公式、余弦公式的变形,在使用时注意四种形式,即sin αsin β,cos αcos β,sin αcos β,cos αsin β,特别是sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)],不要忽视前面的负号.

　三角函数的和差化积公式

[问题3] 如何把sin 60°+sin 30°化为两个三角函数乘积的形式?请你试着根据积化和差公式,得出把两个三角函数和差的形式化为两个三角函数乘积形式的公式.

知识点3:三角函数的和差化积公式

sin x+sin y=2sin cos ;

sin x-sin y=2cos sin ;

cos x+cos y=2cos cos ;

cos x-cos y=-2sin sin .

[例3] (1)化简sin(x+)+sin(x-)等于(　　)

(A)-sin x (B)sin x

(C)-cos x (D)cos x

(2)已知sin α+sin β=,cos α+cos β=,那么tan 的值为　　　　. 

解析:(1)sin(x+)+sin(x-)=

2sin cos =

2sin xcos =sin x.故选B.

(2)由sin α+sin β=,得2sin cos =,

由cos α+cos β=,得2cos cos =,所以tan =.

答案:(1)B　(2)

变式训练3-1:证明:=tan .

证明:左端====tan =右端.

和差化积时,两个以和差连接的三角函数是同名的,即只能是sin α±sin β,cos α±cos β,如果两个三角函数不同名,要根据诱导公式把其化为同名,再使用和差化积公式.

[例1] sin 20°·sin 40°·sin 60°·sin 80°的值为　　　　. 

解析:sin 20°·sin 40°·sin 60°·sin 80°

=[cos(20°-40°)-cos(20°+40°)]·sin 60°·sin 80°

=(cos 20°-cos 60°)·sin 60°·sin 80°

=(cos 20°sin 80°-cos 60°sin 80°)·sin 60°

=[sin(80°+20°)+sin(80°-20°)-cos 60°sin 80°[·sin 60°

=(sin 100°+sin 60°-sin 80°)·sin 60°

=(sin 80°+sin 60°-sin 80°)·sin 60°

=×sin 60°×sin 60°=×××=.

答案:

[例2] 化简的结果为　　　　. 

解析:原式=

=

==.

答案:

[例3] 在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足:2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.

(1)求角A的大小;

(2)若a=3,求△ABC的周长l的取值范围.

解:(1)在△ABC中,由2asin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C,

可得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,

即b2+c2-a2=bc,

故cos A=,A∈(0,π),所以A=.

(2)由正弦定理可得,====2,

所以b=2sin B,c=2sin C,

所以l=a+b+c=3+2sin B+2sin(-B)=6sin(B+)+3.

因为所以B∈(,),

所以B+π∈(,),

所以sin(B+)∈(,1],所以l∈(3+3,9].

故△ABC的周长l的取值范围是(3+3,9].

基础巩固

知识点一:辅助角公式

1.若cos x+sin x=cos(x+),则的一个可能值是(　A　)

(A)-   (B)-

(C)   (D)

2.sin 15°+sin 75°等于(　C　)

(A)   (B)1    (C)    (D)

3.化简sin x+cos x等于(　A　)

(A)2sin(x+)    (B)2sin(x-)

(C)2cos(x+)   (D)2cos(x-)

解析:sin x+cos x=2sin(x+).故选A.

4.(多选题)下列说法正确的是(　AB　)

(A)sin 15°+cos 15°=sin 60°

(B)sin(α+β-15°)=sin(α-15°)cos β+cos(α-15°)sin β

(C)cos(α+β)=cos αcos β+sin αsin β

(D)tan(α-β)=

解析:A,B正确;

对于C,cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β,故C错误;

对于D,tan(α-β)=,故D错误.

故选AB.

5.形如的式子叫作行列式,其运算法则为=ad-bc,则行列式的值是　　　　. 

解析:由题意知,原式=sin 15°-cos 15°=-cos 60°=-.

答案:-

知识点二:积化和差与和差化积公式

6.已知cos(α-β)=-,cos(α+β)=,则cos αcos β,sin αsin β

的值分别为　　　　　　　　.

解析:cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]=×(-)=-,

sin αsin β=-[cos(α+β)-cos(α-β)]=-×(+)=-.

答案:-,-

能力提升

7.在△ABC中,若sin Asin B=(1+cos C),则△ABC是(　B　)

(A)等边三角形      (B)等腰三角形

(C)不等边三角形   (D)直角三角形

解析:由已知得,[cos(A-B)-cos(A+B)]=(1+cos C),

又A+B=π-C,

所以cos(A-B)-cos(π-C)=1+cos C,

所以cos(A-B)=1,

又-π<A-B<π,

所以A-B=0,所以A=B,

故△ABC为等腰三角形.故选B.

8.已知α∈(0,),sin α+cos α=tan (cos α-sin α),则α等于(　D　)

(A) (B) (C) (D)

解析:2(sin α+cos α)=2tan (cos α-sin α),

即sin(α+)=tan cos(α+),

易知cos(α+)≠0,所以=tan ,

即tan(α+)=tan ,

故α+=+kπ(k∈Z),

即α=+kπ(k∈Z).

又因为α∈(0,),令k=-1,得α=.故选D.

9.(多选题)下列四个关系式错误的是(　BCD　)

(A)sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ

(B)cos 3θ-cos 5θ=-2sin 4θsin θ

(C)sin 3θ-sin 5θ=-cos 4θcos θ

(D)sin 5θ+cos 3θ=2sin 4θcos θ

解析:由sin 5θ=sin(4θ+θ)=sin 4θcos θ+cos 4θsin θ,

sin 3θ=sin(4θ-θ)=sin 4θcos θ-cos 4θsin θ,

cos 5θ=cos(4θ+θ)=cos 4θcos θ-sin 4θsin θ,

cos 3θ=cos(4θ-θ)=cos 4θcos θ+sin 4θsin θ,代入各选项得,

sin 5θ+sin 3θ=2sin 4θcos θ,A正确;B错误,右边应是

2sin 4θsin θ;C错误,右边应是-2cos 4θsin θ;D错误,由

sin 5θ与cos 3θ两式相加不能得出右边结论.如果从和差化积角度考虑,左边为异名三角函数,要化积应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积,即sin 5θ+cos 3θ=sin 5θ+sin(-3θ)=2sin

(θ+)cos(4θ-).故选BCD.

10.(多选题)关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),下列命题正确的是(　ABD　)

(A)y=f(x)的最大值为

(B)y=f(x)是以π为最小正周期的周期函数

(C)将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度后,将与已知函数的图象重合

(D)y=f(x)在区间(,)上单调递减

解析:f(x)=cos(2x-)+cos(2x+)=cos(2x+-)+cos(2x+)=

sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x++)=sin(2x+),显然A,B选项正确;

C选项,将函数y=cos 2x的图象向左平移个单位长度得到y=cos(2x+),图象不会与原图象重合,故C错误;

D选项,当x∈(,),则2x+∈(,),所以y=f(x)在区间(,)上单调递减成立.故选ABD.

11.=　　    　　. 

解析:原式==tan 30°=.

答案:

12.已知tan α,tan β是一元二次方程x2+3x-4=0的两个根,

求的值.

解:因为tan α,tan β是一元二次方程x2+3x-4=0的两个根,

所以tan α+tan β=-3,tan α·tan β=-4,

=====-.

13.求的值.

解:=

=

==-

=-

=-=-=-

=-2-.

14.求下列各式的值.

(1)sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°;

(2)cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°.

解:(1)sin 20°·cos 70°+sin 10°·sin 50°=[sin 90°+

sin(-50°)]-[cos 60°-cos(-40°)]=-sin 50°-+cos 40°

=-cos 40°+cos 40°=.

(2)cos 10°·cos 30°·cos 50°·cos 70°=cos 10°·

cos 50°·cos 70°=[(cos 60°+cos 40°)·cos 70°]=

cos 70°+cos 40°cos 70°=cos 70°+(cos 110°+cos 30°)=

cos 70°+cos 110°+=.

应用创新

15.已知实数x,y满足sin x+sin y=,cos x-cos y=,求sin(x-y),

cos(x+y).

解:sin x+sin y=,①

cos x-cos y=,②

①式两边分别平方得sin2x+sin2y+2sin xsin y=,

②式两边分别平方得cos2x+cos2y-2cos xcos y=,上述两式相加得2+2sin xsin y-2cos xcos y=+,即sin xsin y-cos xcos y=-.

所以cos(x+y)=cos xcos y-sin xsin y=.

由和差化积公式得sin 2x-sin 2y=2cos(x+y)·sin(x-y),

则sin(x-y)cos(x+y)=sin(x-y)=(sin 2x-sin 2y).

①×②得(sin 2x-sin 2y)-sin(x-y)=,

即sin(x-y)-sin(x-y)=,

所以sin(x-y)=-.