高中数学第四章 三角恒等变换本章综合与测试课后复习题

第四章　三角恒等变换

专题强化练7　三角函数公式的综合应用

一、选择题

1.(2020山东滕州高一期中,)若tan α=,则cos2α+sin αcos α的值是(　　)

A.- B.- C. D.

2.(2020山东威海高三一模,)已知sin(β-α)cos β-cos(α-β)sin β=,α为第三象限角,则cos=(　　)

A.- B.- C. D.

3.(2020湖北孝感名校联考,)已知α∈0,,β∈(0,π),且sin α=,cos β=,则α-β=(　　)

A.- B. C. D.±

4.(2020山东潍坊高一期末,)已知函数y=sin(πx+φ)-2cos(πx+φ)(0<φ<π)的图象关于直线x=1对称,则tan φ的值为(　　)

A.-2 B.- C. D.2

5.(多选)(2020河南郑州高一模拟,)若≤x≤,则y=的取值可以为(　　)

A. B. C.3 D.4

二、填空题

6.(2020安徽蚌埠高一期末,)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=, 则cos=　　　　. 

7.(2020浙江金华高一期末,)函数f(x)=sin2x+cos x-的最大值是　　　　. 

8.(2020山东临沂高一期中,)函数y=3sin x-4cos x在x=θ处取得最大值,则sin θ=　　　　. 

9.(2020江西南昌二中高一期末,)函数f(x)=+0<x<的最小值是　　　　. 

三、解答题

10.(2020江西临川高一期末,)设函数f(x)=sin ωx+sin,x∈R.

(1)若ω=,求f(x)的最大值及相应的x的取值集合;

(2)若x=是f(x)的一个零点,且0<ω<10,求ω的值和f(x)的最小正周期.

11.(2020辽宁锦州高一期中,)函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的最小正周期及解析式;

(2)设函数g(x)=f(x)-cos 2x,求g(x)在区间上的最小值.

答案全解全析

第四章　三角恒等变换

专题强化练7　三角函数公式的综合应用

1.D 2.A 3.C 4.B 5.CD

一、选择题

1.D　因为tan α=1/3,所以sinα/cosα=1/3,即sin α=1/3cos α,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=9/10,所以cos2α+sin αcos α=cos2α+1/3cos2α=4/3cos2α=4/3×9/10=6/5.

2.A　因为sin(β-α)cos β-cos(α-β)sin β=3/5,所以sin(β-α-β)=3/5,即sin α=-3/5.

由α为第三象限角知,cos α=-4/5,

所以cos α+π/4 =cos αcos π/4-sin α•sin π/4=√2/2(cos α-sin α)=√2/2× -4/5+3/5 =-√2/10.

3.C　∵α∈(0","  π/2),sin α=(4√3)/7,

∴cos α=√(1"-" sin^2 α)=1/7.

∵β∈(0,π),cos β=13/14,

∴sin β=√(1"-" cos^2 β)=(3√3)/14.

∴sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=(4√3)/7×13/14-1/7×(3√3)/14=√3/2,又α-β∈("-" π","  π/2),∴α-β=π/3.

4.B　依题意,得函数在x=1处取得最值,且最大值为√(1^2+"(-" 2")" ^2 )=√5,因此|sin(π+φ)-2cos(π+φ)|=√5,即|2cos φ-sin φ|=√5,两边平方得4cos2φ-4sin φcos φ+sin2φ=5,即4sin2φ+4sin φcos φ+cos2φ=0,

因此(2sin φ+cos φ)2=0,所以tan φ=-1/2.

5.CD　y=(2sin(x+π/6))/cosx

=(2(sinxcos" "  π/6+cosxsin" "  π/6))/cosx

=(√3 sinx+cosx)/cosx=√3tan x+1,

因为函数y=tan x在区间 -π/2,π/2 上是单调递增函数,且 π/4,π/3 ⊆ -π/2,π/2 ,所以y=√3tan x+1在 π/4,π/3 上是递增函数,故√3tan π/4+1≤√3tan x+1≤√3tan π/3+1,即函数的值域为[√3+1,4],故选CD.

二、填空题

6.答案　-56/65

解析　∵α,β∈ 3π/4,π ,

∴α+β∈ 3π/2,2π ,

∴cos(α+β)=√(1"-" sin^2 "(" α+β")" )=4/5.

又β-π/4∈ π/2,3π/4 ,sin β-π/4 =12/13,

∴cos β-π/4 =-√(1"-" sin^2 (β"-"  π/4))=-5/13.

∴cos α+π/4 =cos (α+β)- β-π/4  =cos(α+β)cos β-π/4 +sin(α+β)sin β-π/4 =4/5× -5/13 + -3/5 ×12/13=-56/65.

7.答案　1

解析　f(x)=1-cos2x+√3cos x-3/4=-cos2x+√3cos x+1/4=- cos x-√3/2 2+1,由x∈ 0,π/2 ,可得cos x∈[0,1],当cos x=√3/2时,函数f(x)取得最大值1.

8.答案　3/5

解析　y=3sin x-4cos x=5 3/5sin x-4/5•cos x =5sin(x-φ),其中cos φ=3/5,sin φ=4/5,依题意可得5sin(θ-φ)=5,即sin(θ-φ)=1,所以θ-φ=π/2+2kπ,k∈Z,所以sin θ=sin(φ+π/2+2kπ)=cos φ=3/5.

9.答案　5+2√6

解析　注意到sin2x+cos2x=1,且0<sin2x<1,0<cos2x<1,故f(x)=(2/(sin^2 x)+3/(cos^2 x))(sin2x+cos2x)=2+3+(2cos^2 x)/(sin^2 x)+(3sin^2 x)/(cos^2 x)≥5+2√((2cos^2 x)/(sin^2 x) "•"  (3sin^2 x)/(cos^2 x))=5+2√6,当且仅当(2cos^2 x)/(sin^2 x)=(3sin^2 x)/(cos^2 x),即sin2x=√6-2,cos2x=3-√6时,等号成立,故f(x)的最小值为5+2√6.

三、解答题

10.解析　(1)f(x)=sin ωx+sin ωx-π/2 =sin ωx-cos ωx.

当ω=1/2时,f(x)=sin x/2-cos x/2=√2sin x/2-π/4 ,

而-1≤sin x/2-π/4 ≤1,

所以f(x)的最大值为√2,

此时x/2-π/4=π/2+2kπ,k∈Z,

即x=3π/2+4kπ,k∈Z,

相应的x的取值集合为 x|x=3π/2┤+4kπ,k∈Z .

(2)依题意知,f π/8 =√2sin ωπ/8-π/4 =0,即ωπ/8-π/4=kπ,k∈Z,

整理,得ω=8k+2,k∈Z.

又0<ω<10,

所以0<8k+2<10,得-1/4<k<1,

而k∈Z,所以k=0,ω=2,

所以f(x)=√2sin 2x-π/4 ,f(x)的最小正周期为π.

11.解析　(1)由题图可得A=1,T/2=2π/3-π/6=π/2,所以T=π,因此ω=2.

因为当x=π/6时,f(x)=1,所以sin 2×π/6+φ =1,即π/3+φ=2kπ+π/2,k∈Z,又|φ|<π/2,所以φ=π/6,故f(x)=sin 2x+π/6 .

(2)由(1)知g(x)=f(x)-cos 2x=sin 2x+π/6 -cos 2x=√3/2sin 2x+1/2cos 2x-cos 2x

=√3/2sin 2x-1/2cos 2x=sin 2x-π/6 ,

因为x∈ 0,π/2 ,所以-π/6≤2x-π/6≤5π/6,

故当2x-π/6=-π/6,即x=0时,函数g(x)取最小值-1/2.