北师大版高中数学必修第二册第4章1同角三角函数的基本关系作业含答案

第四章　三角恒等变换

§1　同角三角函数的基本关系

课后训练巩固提升

1.下列四个命题不可能成立的是(　　).

A.sin α=-,且cos α=

B.sin α=0,且cos α=-1

C.tan α=1,且cos α=-1

D.tan α=(α在第二象限)

解析:由基本关系式可逐个判断A,B,D都有可能成立.

答案:C

2.若cos α=,则(1+sin α)(1-sin α)等于(　　).

A. B. 

C. D.

解析:(1+sinα)(1-sinα)=1-sin2α=cos2α=.

答案:B

3.已知α是第三象限角,且sin α=-,则3cos α+4tan α=(　　).

A.- B. 

C.- D.

解析:因为α是第三象限角,且sinα=-,

所以cosα=-=-=-,所以tanα=,

所以3cosα+4tanα=-2=-.

答案:A

4.化简的值为(　　).

A.1 B.-1 C.2 D.-2

解析:原式===-1.

答案:B

5.若α∈[0,2π),且=sin α-cos α,则α的取值范围是(　　).

A. B.

C. D.

解析:由题意,得=|sinα|+|cosα|=sinα-cosα,所以sinα≥0,cosα≤0.

又α∈[0,2π),所以α∈.

答案:B

6.若tan θ=2,则cos2θ-sin2θ=(　　).

A.- B. C.- D.

解析:由已知得解得cos2θ=,

所以cos2θ-sin2θ=cos2θ-(1-cos2θ)=2cos2θ-1=2×-1=-.

答案:C

7.已知α∈,且sin αcos α=-,则sin α+cos α的值是(　　).

A. B.- C.± D.±

解析:因为α∈,所以sinα>0,cosα<0,且|sinα|<|cosα|,从而sinα+cosα<0.

又(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=1+2×,从而sinα+cosα=-.

答案:B

8.已知sin α=,tan α=-,则cos α等于　　　　　. 

解析:由tanα=,可知cosα==-.

答案:-

9.已知关于x的方程4x2-2(m+1)x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦和余弦,则实数m的值为　　　　　. 

解析:由题意知Δ=4(m+1)2-16m≥0,解得m∈R.

不妨设A为直角三角形的一个锐角,sinA=x1,cosA=x2,则x1+x2=(m+1),x1·x2=m,

即sinA+cosA=(m+1),sinAcosA=m,

所以1+2×m=(m+1)2,解得m=或m=-.当m=-时,sinAcosA=-<0,不合题意,舍去,故m=.

答案:

10.已知cos α+2sin α=-,则tan α=　　　　　. 

解析:由得(sinα+2)2=0,

∴sinα=-,cosα=-,∴tanα=2.

答案:2

11.已知sin α-cos α=,则tan α的值为　　　　　. 

解析:∵sinα-cosα=,

∴(sinα-cosα)2=sin2α-2sinαcosα+cos2α=1-2sinαcosα=,∴sinαcosα=,

于是,即,

∴tanα=或tanα=3.

答案:3或

12.已知=k.试用k表示sin α-cos α的值.

解:=2sinαcosα=k,

当0<α<时,sinα<cosα,此时sinα-cosα<0,

所以sinα-cosα=-=-=-.

当≤α<时,sinα≥cosα,此时sinα-cosα≥0,

所以sinα-cosα=.

13.已知sin θ=asin φ,tan θ=btan φ,其中θ为锐角,求证:cos θ=.

证明:由题意知a=,b=,

则=.

整理,得=|cosθ|.

因为θ为锐角,

所以cosθ=.

故原等式成立.