高中数学4.5 函数的应用（二）练习

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A．(－1，0) B．－1
C．(0，1) D．0
2．已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则下列结论正确的是( )
A．f(x)在(1，6)内恰有3个零点
B．f(x)在(1，6)内至少有3个零点
C．f(x)在(1，6)内最多有3个零点
D．以上结论都不正确
3．若 eq \f(3,2) 是函数f(x)＝2x2－ax＋3的一个零点，则f(x)的另一个零点是( )
A．(1，0) B．－1
C．－ eq \f(3,2) D．1
4．函数f(x)＝ eq \r(x) － eq \f(3,x) 的零点所在的区间为( )
A.(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
5．(多选)已知函数f(x)的图象是一条连续的曲线，则下列说法正确的有( )
A．若f(0)·f(1)>0，则f(x)在(0，1)内没有零点
B．若f(0)·f(1)>0，则无法确定f(x)在(0，1)内有无零点
C．若f(0)·f(1)<0，则f(x)在(0，1)内有且仅有一个零点
D．若f(0)·f(1)≤0，则f(x)在[0，1]内有零点
6．函数f(x)＝ eq \f(（x－1）ln x,x－3) 的零点是________．
7．函数f(x)＝ex＋x－2的零点在区间(k，k＋1)内，则整数k的值为________(其中e为自然对数的底数，e＝2.718 28…)
8．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
9.(多选)对于函数f(x)＝－( eq \f(1,3) )x＋x eq \s\up6(\f(1,3)) ，若存在实数a，b，使得aA．f(x)在(a，b)内有两个以上零点
B．a>0
C．f(x)在(a，b)内有且只有一个零点
D．f(x)为R上的单调函数
10．函数f(x)＝2x－ eq \f(2,x) －a的一个零点在区间(1，2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1，3) B．(1，2)
C．(0，3) D．(0，2)
11．已知函数f(x)＝x2－2|x|－1，若关于x的方程f(x)＝x＋m有四个根，则实数m的取值范围为________．
12．设a∈R，函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋1－4，x(1)当a＝2时，写出f(x)的单调区间(不用写出求解过程)；
(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．
13.[2022·山东泰安高一期中]已知函数f(x)＝(x＋3)(x－e)＋(x－e)(x－π)＋(x－π)·(x＋3)的零点x1，x2(x1A．x1x2>0 B． eq \f(x1,x2) <－ eq \f(3,e)
C．x2－x1课时作业(二十九) 函数的零点与方程的解
1．解析：令y＝1＋ eq \f(1,x) ＝0，∴x＝－1.
所以函数y＝1＋ eq \f(1,x) 的零点是x＝－1.
答案：B
2．解析：依题意，∵f(2)>0，f(3)<0，f(4)>0，f(5)<0，∴根据根的存在性定理可知，在区间(2，3)和(3，4)及(4，5)内至少含有一个零点，故函数在区间(1，6)上的零点至少有3个．
答案：B
3．解析：由f( eq \f(3,2) )＝0得a＝5，∴f(x)＝2x2－5x＋3，令f(x)＝0解得x＝ eq \f(3,2) 或x＝1，故f(x)的另一个零点是1.
答案：D
4．解析：函数f(x)＝ eq \r(x) － eq \f(3,x) 的定义域为(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而f(2)＝ eq \r(2) － eq \f(3,2) <0，f(3)＝ eq \r(3) －1>0，
所以函数f(x)的零点所在的区间为(2，3).
答案：C
5．解析：∵f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)>0，
∴不能确定f(x)在(0，1)内零点的情况，A错误，B正确；
若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)<0，
由零点存在定理知：f(x)在(0，1)内至少有一个零点，C错误；
若f(x)的图象是一条连续的曲线，且f(0)·f(1)≤0，
由零点存在定理知：f(x)在[0，1]内有零点，D正确．
答案：BD
6．解析：令f(x)＝0，即 eq \f(（x－1）ln x,x－3) ＝0，则x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.
答案：1
7．解析：因为y＝ex，y＝x－2均为增函数，所以f(x)＝ex＋x－2为增函数；
又f(0)＝－1<0，f(1)＝e－1>0，所以f(x)的零点在区间(0，1)内，所以k＝0.
答案：0
8．解析：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ>0，即4＋12(1－m)>0，可解得m< eq \f(4,3) .由Δ＝0，可解得m＝ eq \f(4,3) ；由Δ<0，可解得m> eq \f(4,3) .
故当m< eq \f(4,3) 时，函数有两个零点；当m＝ eq \f(4,3) 时，函数有一个零点；当m> eq \f(4,3) 时，函数无零点．
(2)由题意知0是对应方程的根，故有1－m＝0，可解得m＝1.
9．解析：由于y＝－( eq \f(1,3) )x在R上是单调增函数，y＝x eq \s\up6(\f(1,3)) 在R上是单调增函数．那么y＝－( eq \f(1,3) )x＋x eq \s\up6(\f(1,3)) 在R上是单调增函数．由题知，存在a答案：CD
10．解析：因为函数f(x)＝2x－ eq \f(2,x) －a在区间(1，2)上单调递增，
又函数f(x)＝2x－ eq \f(2,x) －a的一个零点在区间(1，2)内，则有f(1)·f(2)<0，
所以(－a)(4－1－a)<0，
即a(a－3)<0.所以0答案：C
11．解析：由f(x)＝x＋m，得m＝f(x)－x＝x2－2|x|－x－1
令g(x)＝x2－2|x|－x－1＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－3x－1，x≥0，,x2＋x－1，x<0)) ，画出图象
由图可知，当－ eq \f(5,4) 即方程f(x)＝x＋m有四个根．
答案：(－ eq \f(5,4) ，－1)
12．解析：(1)f(x)的增区间是(－∞，4)，(5，＋∞)，减区间是(4，5).
(2)由2x＋1－4＝0得x＝1；由x2－5ax＋6a2＝(x－2a)(x－3a)＝0得x＝2a或x＝3a，
当a2>1时，得a<－1或a>1，所以1是f(x)的零点，
①当a<－1时，则3a<2a<0②当a>1时，即2<2a<3a时，为使f(x)有两个零点，则2a当a2≤1时，得－1≤a≤1，所以1不是f(x)的零点，
为使f(x)有两个零点，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2a≠3a,2a≥a2,3a≥a2)) ，解得0此时f(x)的两个零点为2a，3a，所以0综上，当013．解析：由题意知，
f(x)＝3x2＋(6－2e－2π)x＋πe－3π－3e，
则函数f(x)图象的对称轴为x＝ eq \f(e＋π,3) －1，
所以函数f(x)在( eq \f(e＋π,3) －1，＋∞)上单调递增，在(－∞， eq \f(e＋π,3) －1)上单调递减，
又f(－3)＝(－3－e)(－3－π)>0，
f(0)＝－3e＋eπ－3π<0
f(e)＝(e－π)(e＋3)<0，f(π)＝(π－e)(3＋π)>0，
所以f(－3)f(0)<0，f(e)f(π)<0，
因为－3、0∈(－∞， eq \f(e＋π,3) －1)，e、π∈( eq \f(e＋π,3) －1，＋∞)，
所以－3所以x1x2<0，故A错误；
－ eq \f(3,e) < eq \f(x1,e) < eq \f(x1,x2) ，故B错误；
x2－x1∈(e，3＋π)，故C错误；
x1＋x2∈(e－3，π)，故D正确．
答案：D
练 基 础
x
1
2
3
4
5
6
y
10
8
－3
2
－7
－9
提 能 力
培 优 生