高中数学4.5 函数的应用（二）巩固练习

课时跟踪检测（二十九） 函数的零点与方程的解

层级(一)　“四基”落实练

1．若函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)

A．2　　　　　　　　　　 B．－2

C．±2   D．3

解析：选C　因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，所以b＝±2.

2．(多选)若方程x2＋2x＋λ＝0在区间(－1,0)上有实数根，则实数λ的取值可以是(　　)

A．－3   B.

C.   D．1

解析：选BC　方程x2＋2x＋λ＝0对应的二次函数为：f(x)＝x2＋2x＋λ，它的对称轴为：x＝－1，

所以函数在(－1,0)上是增函数，所以可得解得λ∈(0,1)．结合选项知选B、C.

3．函数f(x)＝x3＋3x－15的零点所在的区间为(　　)

A．(－1,0)  B．(0,1)

C．(1,2)  D．(2,3)

解析：选D　函数f(x)＝x3＋3x－15是连续的单调递增函数，

∵f(1)＝1＋3－15＝－11＜0，

f(2)＝8＋6－15＝－1＜0，

f(3)＝27＋9－15＝21＞0，

∴f(2)f(3)＜0，

由函数零点存在定理可知函数的零点所在区间为(2,3)．

4．根据表格中的数据，可以判定方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间是(　　)

A.(0,1)  B．(1,2)

C．(2,3)  D．(3,4)

解析：选C　设f(x)＝ex－2x－5，

此函数的图象是连续不断的，

由表可知f(0)＝1－5＝－4<0，

f(1)＝2.72－7＝－4.28<0，

f(2)＝7.39－9＝－1.61<0，

f(3)＝20.09－11＝9.09>0，

f(4)＝54.60－13＝41.60>0，

所以f(2)·f(3)<0，

所以函数f(x)的一个零点，即方程ex－2x－5＝0的一个根所在的区间为(2,3)．

5．已知函数若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)  B．(－∞，1)

C．(1，＋∞)  D．(0,1]

解析：选D　作出函数f(x)的图象，由图象知，当0＜k≤1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，所以0＜k≤1，故选D.

6．函数f(x)＝的零点是________．

解析：令f(x)＝0，即＝0，即x－1＝0或ln x＝0，∴x＝1，故函数f(x)的零点为1.

答案：1

7．若abc≠0，且b2＝ac，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的零点的个数是________．

解析：∵ax2＋bx＋c＝0的根的判别式Δ＝b2－4ac，b2＝ac，且abc≠0，∴Δ＝－3b2＜0，

∴方程ax2＋bx＋c＝0无实根．

∴函数f(x)＝ax2＋bx＋c无零点．

答案：0

8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)讨论函数g(x)＝f(x)－m(m∈R)的零点个数．

解：(1)当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋1＝x2＋2x＋1，

∵f(x)是R上的偶函数，∴f(x)＝x2＋2x＋1，

∴f(x)＝

(2)函数f(x)的图象如图所示．

当m＜0时，g(x)没有零点；

当m＝0或m＞1时，g(x)有2个零点；

当0＜m＜1时，g(x)有4个零点；

当m＝1时，g(x)有3个零点．

层级(二)　能力提升练

1．函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)

A．(1,3)  B．(1,2)

C．(0,3)  D．(0,2)

解析：选C　因为函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)<0，所以(－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0.所以0<a<3.

2．(多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有四个零点，则实数m可取(　　)

A．－1  B．1

C．3  D．5

解析：选BC　令g(x)＝0得f(x)＝m，作出函数f(x)的图象如图所示．

∵函数f(x)的图象与y＝m有四个交点，

∴m的取值范围为(0,4)，结合选项知选B、C.

3．已知函数f(x)＝若函数y＝f(f(x)＋m)有四个零点，则实数m的取值范围是________．

解析：令f(x)＝0⇒x＝－2或1.

令f(f(x)＋m)＝0得f(x)＋m＝－2或f(x)＋m＝1，∴f(x)＝－2－m或f(x)＝1－m.

作出y＝f(x)的图象，如图所示．

∵y＝f(f(x)＋m)有四个零点，

∴f(x)＝－2－m，f(x)＝1－m各有两个根，

∴解得－3≤m<－1.

答案：[－3，－1)

4．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．

(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；

(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．

解：(1)－1和－3是函数f(x)的两个零点，

故－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．

则解得k＝－2.

(2)函数的两个零点为α和β，

则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根．

∴

则－4≤k≤－，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6在－4≤k≤－上单调递减，

∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是.

5．已知f(x)＝log3(3x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数．

(1)求k的值；

(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝x＋a有公共点，求a的取值范围．

解：(1)∵y＝f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，

∴log3(3－x＋1)－kx＝log3(3x＋1)＋kx，

化简得log3＝kx，即log3＝kx，

∴log33－x＝kx，∴－x＝kx，

即(k＋1)x＝0对任意的x∈R都成立，∴k＝－1.

(2)由题意知，方程log3(3x＋1)－x＝x＋a有解，

亦即log3(3x＋1)－x＝log3＝a有解，

∴log3＝a有解．

由＞0，得1＋＞1，∴log3＞0，

故a＞0，即a的取值范围是(0，＋∞)．

层级(三)　素养培优练

已知函数f(x)＝2x，g(x)＝log2x.

(1)若x0是方程f(x)＝－x的根，证明2x0是方程g(x)＝－x的根；

(2)设方程f(x－1)＝－x，g(x－1)＝－x的根分别是x1，x2，求x1＋x2的值．

解：(1)证明：因为x0是方程f(x)＝－x的根，

所以2x0＝－x0，即x0＝－2x0，

则g(2x0)＝log22x0＝x0＝－2x0.

所以2x0是方程g(x)＝－x的根．

(2)由题意知，方程2x－1＝－x，log2(x－1)＝－x的根分别是x1，x2，

即方程2x－1＝－(x－1)，log2(x－1)＝－(x－1)的根分别为x1，x2，

令t＝x－1，

则方程2t＝－t，log2t＝－t的根分别为t1＝x1－1，t2＝x2－1.

由(1)知t1是方程2t＝－t的根，则2t1是方程log2t＝－t的根．

令h(t)＝log2t＋t－，则2t1是h(t)的零点，

又因为h(t)是(0，＋∞)上的增函数，

所以2t1是h(t)的唯一零点，即2t1是方程log2t＝－t的唯一根．

所以2t1＝t2，

所以t1＋t2＝t1＋2t1＝，即(x1－1)＋(x2－1)＝，

所以x1＋x2＝＋2＝.