这是一份人教A版 (2019)必修第一册4.2 指数函数课堂检测，共5页。试卷主要包含了设a＝30，函数f＝x2|x|的图象大致是等内容，欢迎下载使用。

A．bC．a2．若( eq \f(1,2) )2a＋1<( eq \f(1,2) )3－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．( eq \f(1,2) ，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞， eq \f(1,2) )
3．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．( eq \f(1,2) ，＋∞) B．(0， eq \f(1,2) )
C．(－∞， eq \f(1,2) ) D．(－ eq \f(1,2) ， eq \f(1,2) )
4．若函数f(x)＝ax＋1(a>0，且a≠1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为 eq \f(3,4) ，则a＝( )
A．2 B． eq \f(1,2) C．4 D． eq \f(1,4)
5．(多选)下列各式比较大小，正确的是( )
A．1.72.5＞1.73 B．( eq \f(1,2) ) eq \s\up6(\f(2,3)) >2－ eq \f(4,3)
C．1.70.3＞0.93.1 D．( eq \f(2,3) ) eq \s\up6(\f(3,4)) >( eq \f(3,4) ) eq \s\up6(\f(2,3))
6．已知f(x)是R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝2x，则f(－1)＝________．
7．函数y＝( eq \f(1,2) )1－x的单调增区间为________．
8．[2022·福建宁德高一期末]已知f(x)＝a－ eq \f(b,2x＋1) 是R上的奇函数，且f(1)＝ eq \f(1,3) .
(1)求f(x)的解析式；
(2)判断f(x)的单调性，并根据定义证明．
9.函数f(x)＝x(x2－1)2|x|的图象大致是( )
10．(多选)已知函数f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ，下面说法正确的有( )
A．f(x)的图象关于原点对称
B．f(x)的图象关于y轴对称
C．f(x)的值域为(－1，1)
D．∀x1，x2∈R，且x1≠x2， eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) >0
11．已知函数f(x)＝ eq \f(ax,3x＋1) (a＞0，a≠1)是偶函数，则a＝ ________，则f(x)的最大值为________.
12．已知f(x)＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x－1)＋\f(1,2))) .
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)求证：f(x)>0.
13.写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________．
①f(x)在R上单调递增；
② eq \f(f（x1）f（x2）,f（x1＋x2）) ＝f(0)；
③f(0)>1.
课时作业(二十三) 指数函数及其性质的应用
1．解析：b＝2－0.4<20＝1，c＝90.4＝30.8>30.7＝a>30＝1，
所以b答案：D
2．解析：∵函数y＝( eq \f(1,2) )x在R上为减函数，
∴2a＋1>3－2a，∴a> eq \f(1,2) .
答案：B
3．解析：由已知，得0<1－2a<1，解得0答案：B
4．解析：f(x)在[0，1]上单调，所以f(x)在[0，1]上的最大值与最小值的和为a＋a2＝ eq \f(3,4) ，
解得a＝ eq \f(1,2) 或a＝－ eq \f(3,2) (舍去).
答案：B
5．解析：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，
对于选项B：( eq \f(1,2) ) eq \s\up6(\f(2,3)) ＝2－ eq \f(2,3) ，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且－ eq \f(2,3) >－ eq \f(4,3) ，
∴( eq \f(1,2) ) eq \s\up6(\f(2,3)) ＝2－ eq \f(2,3) >2－ eq \f(4,3) ，故选项B正确，
对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y＝( eq \f(2,3) )x在R上单调递减，且 eq \f(3,4) > eq \f(2,3) ，
∴( eq \f(2,3) ) eq \s\up6(\f(3,4)) <( eq \f(2,3) ) eq \s\up6(\f(2,3)) ，
又∵函数y＝x eq \s\up6(\f(2,3)) 在(0，＋∞)上单调递增，且 eq \f(2,3) < eq \f(3,4) ，
∴( eq \f(2,3) ) eq \s\up6(\f(2,3)) <( eq \f(3,4) ) eq \s\up6(\f(2,3)) ，
∴( eq \f(2,3) ) eq \s\up6(\f(3,4)) <( eq \f(2,3) ) eq \s\up6(\f(2,3)) <( eq \f(3,4) ) eq \s\up6(\f(2,3)) ，故选项D错误．
答案：BC
6．解析：当x>0时，f(x)＝2x，所以f(1)＝21＝2，又因为f(x)是R上的奇函数，所以f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝－2.
答案：－2
7．解析：设t＝1－x，则y＝( eq \f(1,2) )t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝( eq \f(1,2) )1－x的递增区间．
答案：(－∞，＋∞)
8．解析：(1)已知f(x)＝a－ eq \f(b,2x＋1) 是R上的奇函数，且f(1)＝ eq \f(1,3) ，
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（0）＝a－\f(b,2)＝0,f（1）＝a－\f(b,3)＝\f(1,3))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1,b＝2)) ，
所以f(x)＝1－ eq \f(2,2x＋1) .
(2)根据指数函数的单调性可判断得f(x)＝1－ eq \f(2,2x＋1) 为增函数．
下证明：设x1，x2是R上任意给定的两个不同实数，且x1则f(x1)－f(x2)＝1－ eq \f(2,2x1＋1) －(1－ eq \f(2,2x2＋1) )＝ eq \f(2（2x1－2x2）,（2x1＋1）·（2x2＋1）)
∵x12x1，
∵2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴f(x1)∴函数y＝f(x)在R上是单调递增函数．
9．解析：∵f(－x)＝－x[(－x)2－1]2|－x|＝－x(x2－1)2|x|＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，A不正确；
很显然f(x)＝x(x2－1)2|x|有三个零点分别为0，±1，
f( eq \f(1,2) )＝ eq \f(1,2) ( eq \f(1,4) －1)2 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) ＝－ eq \f(3,8) ·2 eq \s\up6(\f(1,2)) <0，只有C符合．
答案：C
10．解析：f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) 的定义域为R关于原点对称，
f(－x)＝ eq \f(2－x－1,2－x＋1) ＝ eq \f(（2－x－1）2x,（2－x＋1）2x) ＝ eq \f(1－2x,1＋2x) ＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，
故选项A正确，选项B不正确；
f(x)＝ eq \f(2x－1,2x＋1) ＝ eq \f(2x＋1－2,2x＋1) ＝1－ eq \f(2,2x＋1) ，因为2x>0，所以2x＋1>1，所以0< eq \f(1,2x＋1) <1，
－2< eq \f(－2,2x＋1) <0，所以－1<1－ eq \f(2,2x＋1) <1，可得f(x)的值域为(－1，1)，故选项C正确；
设任意的x1则f(x1)－f(x2)＝1－ eq \f(2,2x1＋1) －(1－ eq \f(2,2x2＋1) )
＝ eq \f(2,2x2＋1) － eq \f(2,2x1＋1) ＝ eq \f(2（2x1－2x2）,（2x1＋1）（2x2＋1）) ，
因为2x1＋1>0，2x2＋1>0，2x1－2x2<0，所以 eq \f(2（2x1－2x2）,（2x1＋1）（2x2＋1）) <0，
即f(x1)－f(x2)<0，所以 eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2) >0，故选项D正确．
答案：ACD
11．解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
则 eq \f(a－x,3－x＋1) ＝ eq \f(a－x,\f(1,3x)＋1) ＝ eq \f(3xa－x,1＋3x) ＝ eq \f(ax,1＋3x) ，
则3xa－x＝ax，
即3x＝a2x，
则a2＝3，则a＝ eq \r(3) ，
则f(x)＝ eq \f(（\r(3)）x,3x＋1) ＝ eq \f(1,（\r(3)）x＋\f(1,（\r(3)）x)) ≤ eq \f(1,2\r(（\r(3)）x·\f(1,（\r(3)）x))) ＝ eq \f(1,2) ，
当且仅当( eq \r(3) )x＝ eq \f(1,（\r(3)）x) ，即3x＝1，则x＝0时取等号，
即f(x)的最大值为 eq \f(1,2) .
答案： eq \r(3) eq \f(1,2)
12．解析： (1)由于2x－1≠0得2x≠20，故x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}．
(2)函数f(x)是偶函数．理由如下：
由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，
因为f(x)＝x( eq \f(1,2x－1) ＋ eq \f(1,2) )＝ eq \f(x,2) · eq \f(2x＋1,2x－1) ，
所以f(－x)＝－ eq \f(x,2) · eq \f(2－x＋1,2－x－1) ＝－ eq \f(x,2) · eq \f(（2－x＋1）·2x,（2－x－1）·2x) ＝－ eq \f(x,2) · eq \f(1＋2x,1－2x) ＝ eq \f(x,2) · eq \f(2x＋1,2x－1) ＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明：由(2)知f(x)＝ eq \f(x,2) · eq \f(2x＋1,2x－1) .
对于任意x∈R，都有2x＋1>0，
若x>0，则2x>20，所以2x－1>0，
于是 eq \f(x,2) · eq \f(2x＋1,2x－1) >0，即f(x)>0，
若x<0，则2x<20，所以2x－1<0，
于是 eq \f(x,2) · eq \f(2x＋1,2x－1) >0，即f(x)>0，
综上知：f(x)>0.
13．解析：对函数f(x)＝3×2x，因为y＝2x在R上单调递增，所以f(x)在R上单调递增；
eq \f(f（x1）f（x2）,f（x1＋x2）) ＝＝3＝f(0)＝3×20，f(0)＝3>1.
答案：3×2x(答案不唯一，形如f(x)＝m·ax(m>1，a>1)均可)
练基础
提能力
培优生

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