苏科版八年级上册第四章 实数4.2 立方根习题

4.2 立方根（知识讲解）

【学习目标】

1. 了解立方根的含义；

2.会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.

【要点梳理】

要点一、立方根的定义

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.

特别说明：：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.

要点二、立方根的特征

立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.

特别说明：：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数.

要点三、立方根的性质

特别说明：：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题.

要点四、立方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，.

【典型例题】

类型一、立方根概念的理解

1．如果的平方根是，是的立方根，那么的值是多少？

【答案】﹣3

【分析】根据题意求出x，y的值，再代入所求代数式求解即可．

解：∵的平方根是，

∴＝9，

解得x＝5，

∵是的立方根，

∴＝，

把x＝5代入＝得，

5＋y＝，

解得y＝﹣，

∴＝3×5＋4×（﹣）＝﹣3．

【点拨】此题考查了平方根、立方根、方程的解，熟记立方根、平方根的定义是解题的关键．

【变式1】我们知道a+b＝0时，a3+b3＝0也成立，若将a看成a3的立方根，b看成b3的立方根，我们能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．

（1）试举一个例子来判断上述结论是否成立；

（2）若与互为相反数，求﹣6的值．

【答案】（1）成立，理由见详解；（2）0．

【分析】

（1）用一对互为相反数的数来验证即可，

（2）根据（1）的结论，然后互为相反数的两个数相加等于0，求出的值，再计算即可．

解：（1），

而且，，有，

结论成立；

即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”是成立的．

（2）由（1）验证的结果知，若与互为相反数，

则和也互为相反数，

即：，

，

．

【点拨】本题主要考查了立方根的定义和性质的应用，熟悉相关性质，能根据题中的信息：“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．”来解答是解题的关键．

【变式2】一个正数的平方根分别是和，的立方根是．求，的值．

【答案】a＝-1，b＝3

【分析】根据平方根、立方根的性质，通过求解一元一次方程，即可求出a、b的值；

解：由题意可知： (2a+5)+(2a−1)=0 ，b−30=(−3)³=−27

解得：a＝-1，b＝3．

【点拨】本题考查了平方根、立方根、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、算数平方根、一元一次方程的性质，从而完成求解．

类型二、求一个数的立方根

2．一个正数m的两个平方根分别为2a+2和a﹣11，求m的立方根．

【答案】m的立方根为4

【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数列得2a+2+a﹣11＝0，解方程求出a即可得到m，再根据立方根定义求出m的立方根．

解：∵一个正数m的两个平方根分别为2a+2和a﹣11，

∴2a+2+a﹣11＝0，

解得：a＝3，

∴2a+2＝8，

故m＝82＝64，

∴m的立方根为＝4．

【点拨】此题考查了平方根的定义，立方根的定义，解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题的关键．

举一反三：

【变式1】解方程：（）3＝﹣512．

【答案】x＝﹣32

【分析】利用立方根的定义求出解即可．

解：（）3＝﹣512，

＝﹣8，

x＝﹣32．

【点拨】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．

【变式2】计算：

【答案】

【分析】根据开立方，去绝对值号，开平方依次运算即可．

解：原式===

【点拨】本题考查了开立方、开平方和去绝对值号，记住运算法则是解题的关键．

类型三、已知一个数的立方根，求这个数

3．已知2a-1的平方根是±3，3a+b-1的立方根是-2，求a、b的值．

【答案】a=5，b=-22

【分析】根据平方根，立方根的定义列出关于a、b的方程求出a和b的值即可．

解：∵2a-1的平方根是±3，

∴2a-1=9，

∴a=5，

又∵3a+b-1的立方根是-2，

∴3a+b-1=-8，

∴b=-22．

【点拨】本题考查了平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．

举一反三：

【变式1】已知：的平方根为，的立方根为4，求：的值．

【答案】－39

【分析】先利用平方根求出x，再代入立方根求出y，最后代入代数式求解．

解：∵的平方根为

∴

∴

∵的立方根为4

∴

∴

∴

【点拨】本题考查了平方根、立方根，关键要掌握平方根和立方根的概念，会运用已知平方根和立方根求代数式．

【变式2】已知的平方根是±3，的立方根是-2．求：的立方根．

【答案】2

【分析】先利用平方根和立方根的性质可得到关于a、b的方程组，从而可求得a、b的值，然后代入求解即可．

解：根据题意得：，

解得：，

∴==8，

∵8的立方根是2，

∴的立方根是2．

【点拨】本题主要考查的是立方根、平方根的性质，熟练掌握平方根、立方根的性质是解题的关键．

类型四、立方根的实际运用

4.【发现】

①

②

③

④

……；

(1)根据上述等式反映的规律，请再写出一个等式：____________．

【归纳】等式①，②，③，④，所反映的规律，可归纳为一个真命题：

对于任意两个有理数a，b，若，则；

【应用】根据上述所归纳的真命题，解决下列问题：

(2)若与的值互为相反数，且，求a的值．

【答案】(1)(2)

【分析】

（1）根据题目给出的规律解答；（2）根据题意列出方程，与已知方程联立解得a的值．

解：(1)，符合上述规律，

故答案为：；

(2)∵与的值互为相反数，

∴+=0，

∴，

解得，

代入中，

解得，，

∴．

【点拨】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题．

举一反三：

【变式1】填写下表，并回答问题：

（1）数a与它的立方根的小数点的移动有何规律？

（2）根据这个规律，若已知，求a的值．

【答案】填表见分析；（1）见分析；（2）

【分析】

（1）根据被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位解答；

（2）根据（1）总结的规律解答．

（1）由题可知，被开方数的小数点每向右或向左移动三位，立方根的小数点相应地向右或向左移动一位；

（2）由（1）总结的规律可知：0.1738的小数点向右移动了一位，

∴0.00525的小数点应向右移动三位，得到．

【点拨】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．

【变式2】在一个长，宽，高分别为9cm，8cm，3cm的长方体容器中装满水，然后将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．

【答案】6cm

【分析】先根据长方体体积公式求出长方体的容积，再由正方体的容积与长方体的容积相同进行求解即可．

解：由题意得：长方体的容积为

∵将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满，

∴长方体和正方体的容积相等，

∴正方体的棱长为．

【点拨】本题主要考查了立方根，解题的关键在于能够熟练掌握求立方根的方法．

类型五、算术平方根与立方根的实际应用

5.已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．

【答案】

【分析】由算术平方根，立方根的定义求出a，b的值，再估算的大小，求出c值，代入即可．

解：∵的算术平方根是3，

∴，

∴，

∵的立方根是，

∴，

∴，

∵   即：，

∴，

∴．

【点拨】本题考查了算数平方根，立方根定义，估算无理数大小，能正确求出a、b、c的值是解题的关键．

举一反三：

【变式1】已知是算术平方根，是的立方根，求的值．

【答案】

【分析】由算术平方根与立方根的含义可得方程组，再解方程组求解的值，从而可得答案.

解：根据题意得：，

解得：，

∴，，

∴；，

∴，

∴

【点拨】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，二元一次方程组的解法，理解题意，求解是解本题的关键.

【变式2】已知的平方根是，的立方根是2，．

（1）求的值；

（2）求的算术平方根．

【答案】（1）a=5、b=2、c=1或c=0；（2）或3．

【分析】

（1）根据平方根和立方根的定义可确定a、b的值，再根据一个数的立方根和算术平方根相等的数是0和1，可以确定c；

（2）分c=0和c=1两张情况分别解答即可．

解：（1）∵的平方根是，的立方根是2

∴a=5，2b+4=8，即b=2

∵

∴c=1或c=0

∴a=5、b=2、c=1或c=0；

（2）当c=1时，=

当c=0时，=3；

∴的算术平方根为或3．

【点拨】本题主要考查了平方根、立方根、算术平方根的定义，灵活运用相关定义并正确确定c的值成为解答本题的关键．