初中数学苏科版八年级上册4.1 平方根课时训练

4.1 平方根（知识讲解）

【学习目标】

1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．

2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．

【要点梳理】

【知识点一】算术平方根的定义

如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数.

特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.

【知识点二】平方根的定义

如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.

【知识点三】平方根和算术平方根的区别与联系

1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和

2．联系：（1）平方根包含算术平方根；

（2）被开方数都是非负数；

（3）0的平方根和算术平方根均为0．

特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．

（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.

【知识点四】平方根的性质

【知识点五】平方根小数点位数移动规律

被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.

【典型例题】

类型一、求一个数的平方根

1．求下列各数的算术平方根．

(1)169；(2)；(3)0.09；(4)(﹣3)2．

【答案】(1)13；(2)；(3)0.3；(4)3

【分析】根据算术平方根的定义解答

解：(1)∵132＝169，

∴169的算术平方根是13，

即＝13；

(2)∵（）2＝，

∴的算术平方根是，

即＝；

(3)∵0.32＝0.09，

∴0.09的算术平方根是0.3，

即＝0.3；

(4)∵32＝9＝（﹣3）2，

∴（﹣3）2的算术平方根是3，

即＝3．

【点拨】此题考查了求一个数的算术平方根，正确理解算术平方根的定义是解题的关键．

【变式】求下列各数的算术平方根：

(1)  0.64                    (2)

【答案】(1) 0.8； (2)

【分析】根据算术平方根的定义求解即可．

解：（1）因为0．82=0.64，

所以0.64的算术平方根是0.8，即=0.8．

（2）因为，

所以的算术平方根是，即．

【点拨】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解答本题的关键，正数有一个正的算术平方根，0的平方根是0，负数没有算术平方根．

类型二、利用算术平方根非负性求解

2．已知，求(x+y)2022的值

【答案】1

【分析】根据二次根式的性质得到，计算出，从而计算出最终的答案．

解：∵

∴

得

∴

∴

∴

∴．

【点拨】本题考查二次根式、幂运算的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式、幂运算的相关知识．

举一反三：

【变式】已知实数a、b、c满足

(1)  求证：；(2)求的平方根．

【答案】(1)见分析(2)

【分析】根据算术平方根的非负性，即可得证；

（2）根据（1）的结论，以及非负数之和为0，求得的值，进而求得的平方根．

(1)证明：∵，，

；

(2)解：，，

，

，

，

，

的平方根是．

【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，非负数之和为0，掌握非负数的性质以及算术平方根的非负性是解题的关键．

类型三、求算术平方根的整数部分和分数部分

3．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根．

【答案】±5

【分析】分别根据算术平方根、平方根的意义，无理数的估算求出a、b、c的值，即可求出a+b+2c的值，根据平方根的意义即可求解．

解：∵＝3，

∴2a﹣1＝9，

解得：a＝5，

∵3a﹣b+1的平方根是±4，

∴15﹣b+1＝16，

解得：b＝0，

∵，

∴10＜＜11，

∴c＝10，

∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25，

∴a+b+2c的平方根为＝±5．

【点拨】本题考查了算术平方根、平方根的意义，无理数的估算，熟知算术平方根、平方根的意义是解题关键．

举一反三：

【变式】已知a为的整数部分，b－1是400的算术平方根，求的值．

【答案】6

试题分析：首先得出的范围进而得出a的值，进而利用算术平方根的定义得出b的值，即可得出答案．

解：∵a为的整数部分，＜＜，

∴a＝15，

∵b－1是400的算术平方根，

∴b－1＝20，

解得：b＝21，

∴＝＝6．

【点拨】此题主要考查了估计无理数大小以及算术平方根，得出a的值是解题关键．

类型四、算术平方根相关规律问题

4.先填写表，通过观察后再回答问题：

(1)表格中x＝                  ，y＝；

(2)从表格中探究a与数位规律，并利用这个规律解决下面两个问题：

①已知≈3.16，则≈                                ；

②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代数式表示b，则b＝；

(3)试比较与a的大小．

【答案】(1)0.1，10(2)①31.6；②

(3)当时，；当时，；当时，；当时，

【分析】

（1）根据算术平方根的性质，即可求解；

（2）根据题意可得当a扩大100倍时，扩大10倍，

①由≈3.16，即可求解；

②根据＝8.973，＝89.73，即可求解；

（3）分四种情况：当时，当时，当时，当时，即可求解．

(1)解：根据题意得：；

(2)解：根据题意得：当a扩大100倍时，扩大10倍，

①∵≈3.16，

∴；

②∵＝8.973，＝89.73，

∴；

(3)当时，，此时；

当时，，此时；

当时，根据a与数位规律得：；

当时，根据a与数位规律得：；

综上所述，当时，；当时，；当时，；当时，．

【点拨】本题主要考查了算术平方根，明确题意，准确得到规律是解题的关键．

举一反三：

【变式】细心观察图，认真分析各式，然后解答问题：

；

；

；

（1）请用含（为正整数）的等式表示上述交化规律：______；

（2）观察总结得出结论：直角三角形两条直角边与斜边的关系，用一句话概括为：______；

（3）利用上面的结论及规律，请在图中作出等于的长度；

（4）若表示三角形面积，，，，计算出的值．

【答案】（1）；（2）直角边的平方和等于斜边的平方；（3）见分析；（4）．

【分析】

（1）观察已知各式，归纳总结规律即可得；

（2）根据等式和图形即可得；

（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，可得，同理可作出点，连接即为所求；

（4）先分别求出的值，再归纳总结出一般规律得出的值，从而可得的值，然后代入求和即可．

解：（1）观察已知各式可得，各式的变化规律为

故答案为：；

（2）结合等式和图形可得，直角三角形两条直角边与斜边的关系为：直角边的平方和等于斜边的平方

故答案为：直角边的平方和等于斜边的平方；

（3）先作的垂线，再在垂线上截取，连接，即可得，同理可作点，连接，则即为所求，如图所示：

（4）

归纳类推得：

当时，

则

．

【点拨】本题考查了算术平方根、勾股定理等知识点，读懂题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

类型五、算术平方根的实际应用

5.如图，用两个边长为的小方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片的长是宽的2倍，且面积为？请说明理由．

【答案】不能，理由见分析

【分析】根据拼图求出大正方形的边长，再根据长方形的长、宽之比为2：1，计算长方形的长与宽进行验证即可．

解：不能，

∵大正方形纸片的面积为（）2+（）2=36（cm2），

∴大正方形的边长为6cm，

设截出的长方形的长为2bcm，宽为bcm，

∴2b2=30，

∴b=（取正值），

∵2b=，

∴不能截得长宽之比为2：1，且面积为30cm2的长方形纸片．

【点拨】本题考查了算术平方根的应用，理解算术平方根的意义是正确解答的关键．

举一反三：

【变式】小强同学用两个小正方形纸片做拼、剪构造大正方形游戏：（他选用的两个小正方形的面积分别为、）．

(1)如图1，，拼成的大正方形边长为___________；

如图2，，拼成的大正方形边长为___________；

如图3，，拼成的大正方形边长为___________．

(2)若将（1）中的图3沿正方形边的方向剪裁，能否剪出一个面积为14.52且长宽之比为4∶3的长方形？若能，求它的长、宽；若不能，请说明理由；

【答案】(1)；；

(2)不能用正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，理由见分析

【分析】

（1）求出所拼成的正方形的面积，再根据算术平方根的定义进行计算即可；

（2）根据题意求出其长、宽，再根据算术平方根进行验证即可．

(1)解：如图1，当S1=1，S2=1，拼成的大正方形A1B1C1D1的面积为1+1=2，因此其边长为；

如图2，当S1=1，S2=4，拼成的大正方形A2B2C2D2的面积为1+4=5，因此其边长为；

如图3，当S1=1，S2=16，拼成的大正方形A3B3C3D3的面积为1+16=17，因此其边长为；

故答案为：，，；

(2)解：不能，理由如下：

设长方形的长为4x，宽为3x，则有4x•3x=14.52，

所以x2=1.21，

即x=1.1（x＞0），

因此长方形的长为4x=4.4，宽为3x=3.3，

因为（4.4）2=19.36＞17，

所以不能用正方形A3B3C3D3剪出一个面积为14.52且长宽之比为4：3的长方形．

【点拨】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．

类型六、平方根概念的理解

6.已知10﹣3a的平方根是±1，a﹣b+2的算术平方根是2，求3a+b的值．

【答案】10

【分析】利用平方根和算术平方根的定义求得a与b的值，然后代入3a+b即可．

解：∵10﹣3a的平方根是±1，

∴，

解得，a＝3，

∵a﹣b+2的算术平方根是 2，

∴，

解得，b＝1，

∴．

【点拨】本题考查了平方根和算术平方根的概念，理解掌握概念是解题的关键．

举一反三：

【变式】已知一个正数的两个不相等的平方根是与．

（1）求的值及这个正数；

（2）求关于的方程的解．

【答案】（1）a=1，这个正数是49；（2）

【分析】

（1）由正数的两个平方根互为相反数得到+=0，求解即可得到答案；

（2）将a=1代入方程，根据平方根的意义得到答案即可．

解：（1）由题意得+=0，

解得a=1，

∴这个正数是；

（2）将a=1代入方程，得-64=0，

解得．

【点拨】此题考查正数平方根的性质，根据平方根的定义解方程，正确理解平方根的性质是解题的关键．

类型七、求一个数的平方根

7.先用平方根符号表示下列各数，再求值：

(1)      (2)

【答案】(1)，(2)，

【分析】

（1）根据平方根的概念与性质，计算即可；

（2）根据平方根的概念与性质，计算即可．

(1)解：原式=

(2)解：原式

【点拨】本题考查平方根的概念与性质，一个数a的正的平方根，用符号“”表示，a叫做被开方数，2叫做根指数，a的负平方根用“”表示，根指数是2时，通常略去不写．如记作，读作“根号a”，记作，读作“正、负根号a”，掌握平方根的概念与性质是解题的关键．

举一反三：

【变式】求下列各数的平方根：

(1)100；           (2)64；

(3)；           (4)1.21．

【答案】(1)±10(2)±8(3)(4)±1.1

【分析】

（1）根据计算即可．

（2）根据计算即可．

（3）根据计算即可．

（4）根据计算即可．

解：(1)∵，

∴100的平方根是±10．

(2)∵，

∴64的平方根是±8．

(3)∵

∴的平方根是．

(4)∵，

∴1．21的平方根是±1．1．

【点拨】本题考查了平方根即如果（a是非负数），则称x是a的平方根，正确理解平方根的意义是解题的关键．

类型八、求代数式的平方根

8.若的算术平方根是3，求的平方根．

【答案】

【分析】根据的算术平方根是3，求出的值后，代入中，再求的平方根．

解：∵的算术平方根是3，

∴，

∴，

∴，

∴的平方根为．

【点拨】本题考查了算数平方根和平方根的应用，解题的关键是：理解算数平方根和平方根的定义，易错点是容易把负的平方根丢掉．

举一反三：

【变式】已知与互为相反数，k是64的平方根，求m-n+k的平方根．

【答案】

【分析】由互为相反数的两个数的和等于0可得：m+1=0，2-n-0，解得m=-1，n=2；由k是64的方根，得出k=8，再代入m、n、k的值求得m-n+k的值，求其平方根即可．

解：∵与互为相反数，

∴+＝0，

又∵≥0，≥0，

∴m+1=0，2-n-0，

∴m=-1，n=2，

∵k是64的平方根，

∴k=8；

当k=8时，m-n+k＝－1－2+8＝5，由m-n+k的平方根为；

当k=-8时，m-n+k＝－1－2－8＝－11，没有平方根；

综合上述可得：m-n+k的平方根为．

【点拨】考查了非负数的性质和平方根的定义，解题关键掌握几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．

类型九、已知一个数的平方根，求这个数

9.一个正数x的两个平方根是3a﹣2与4﹣a，则x是多少？

【答案】25

【分析】直接利用平方根的性质求解．

解：依题意得，3a﹣2+4﹣a＝0，

∴a＝﹣1，

∴3a﹣2＝﹣5，

∴x＝25．

【点拨】本题考查了平方根的性质，熟练掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数是解题的关键．

举一反三：

【变式】一个正数x的两个不同的平方根分别是4a﹣1和4﹣a，求a和x的值．

【答案】a和x的值分别为﹣1，25

【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，得到4a﹣1+（4﹣a）＝0，求出a＝﹣1，再根据x＝（4a﹣1）2求出x即可．

解：∵一个正数的两个平方根互为相反数，

∴4a﹣1+（4﹣a）＝0，

解得a＝﹣1，

∴x＝（4a﹣1）2＝（﹣5）2＝25．

答：a和x的值分别为﹣1，25．

【点拨】此题考查了已知一个数的平方根求参数，正确掌握一个正数的两个平方根是一对相反数的性质是解题的关键．

类型十、利用平方根解方程

10.阅读下列解答过程，在横线上填入恰当内容．

解方程：（x－1）2＝4

解：∵（x－1）2＝4        （1）

∴x－1＝2               （2）

∴x＝3                  （3）

上述过程中有没有错误？若有，错在步骤__________（填序号）原因是____________________________________.     请写出正确的解答过程.

【答案】（2），正数的平方根有两个，它们互为相反数，见分析

【分析】根据正数的平方根有两个，它们互为相反数，即可求解．

解：上述过程中有错误，错在步骤（2），

原因是：正数的平方根有两个，它们互为相反数，

正确的解答过程为：

解：∵（x－1）2＝4        

∴x－1＝±2               

∴x＝3或x＝－1

故答案为：（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数，

【点拨】本题考查了根据平方根解方程，掌握正数的平方根有两个，它们互为相反数是解题的关键．

举一反三：

【变式】求下列式子中的x：

(1)25(x﹣)2＝49；         (2)(x+1)2＝32．

【答案】(1)x1＝2，x2＝  (2)x1＝7，x2＝﹣9

【分析】

（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；

（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．

(1)解： 25（x﹣）2＝49，

（x﹣）2＝，

x﹣＝±，

x﹣＝或x﹣＝﹣，

解得：x1＝2，x2＝；

(2)（x+1）2＝32，

（x+1）2＝32×2，

（x+1）2＝64，

x+1＝±8，

x+1＝8或x+1＝﹣8，

解得：x1＝7，x2＝﹣9．

【点拨】此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．

类型十一、平方根的应用

11.如图①所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成相等的四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．

(1)图②中阴影部分的正方形的边长等于______________

(2)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积：

方法一：________________________________________________

方法二：________________________________________________

(3)根据（2）直接写出这三个代数式之间的等量关系．

(4)根据（3）中的等量关系，解决如下问题：

对于任意的有理数x和y，若，求的值．

【答案】(1)(2)，(3)(4)

【分析】

（1）利用小长方形的长减去宽即可得；

（2）方法一：根据（1）的结论，直接利用正方形的面积公式即可得；方法二：利用大长方形的面积减去四个小长方形的面积即可得；

（3）根据（2）中方法一与方法二求出的面积相等即可得；

（4）先利用（3）中的等式求出的值，再根据平方根的性质即可得．

(1)解：由题意得：小长方形的长为，宽为，

则图②中阴影部分的正方形的边长等于为，

故答案为：．

(2)解：方法一：图②中阴影部分的正方形的边长等于为，

则其面积为；

方法二：图②中大正方形的边长为，四个小长方形的长均为，宽均为，

则图②中阴影部分的面积为，

故答案为：，．

(3)解：因为（2）中方法一与方法二求出的面积相等，

所以．

(4)解：，

，

．

【点拨】本题考查了完全平方公式与图形面积、平方根的应用，结合图形，正确发现图②中阴影面积的两种求解方法是解题关键．

举一反三：

【变式】已知，求的值．

【答案】2022

【分析】根据算术平方根的非负性确定的范围，进而化简绝对值，在根据平方根的定义求得代数式的值．

解：∵，

∴．

∴，

∴原式化简为，

∴，

∴，

故．

【点拨】本题考查了算术平方根的非负性，化简绝对值，平方根的定义，根据算术平方根的非负性确定的范围化简绝对值是解题的关键．