初中数学苏科版八年级上册4.4 近似数课后测评

4.4 估算（知识讲解）

【学习目标】

1．掌握求无理数的整数部分和小数部分的方法；．

2．能运用无理数的整数部分和小数部分进行相关的计算。

【要点梳理】求无理数整数部分与小数部分的方法：

【典型例题】

类型一、估计算术平方根的取值范围

1．一个正方形的面积是15，试估计它的边长大小．

【答案】

【分析】根据开方运算，可得边长，根据，可得答案．

解：一个正方形的面积是15，

边长是，

，

故答案为

【点拨】本题考查了估算无理数的大小，是解题关键．

举一反三：

【变式1】观察下图，每个小正方形的边长均为1，

（1）图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？

（2）估计边长的值在哪两个整数之间．

【答案】（1）图中阴影部分的面积17，边长是；（2）边长的值在4与5之间

【分析】

（1）由图形可以得到阴影正方形的面积等于原来大正方形的面积减去周围四个直角三角形的面积，由正方形的面积等于边长乘以边长，可以得到阴影正方形的边长；

（2）根据，可以估算出边长的值在哪两个整数之间．

解：（1）由图可知，图中阴影正方形的面积是：5×5−=17

则阴影正方形的边长为：

答：图中阴影部分的面积17，边长是

（2）∵

所以4＜＜5

∴边长的值在4与5之间；

【点拨】本题主要考查了无理数的估算及算术平方根的定义，解题主要利用了勾股定理和正方形的面积求解，有一定的综合性，解题关键是无理数的估算．

【变式2】已知的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为．

（1）分别求出，，的值；

（2）求的平方根．

【答案】（1），；（2）

【分析】

（1）根据立方根、算术平方根、估算无理数的大小得出，，，求出、即可；

（2）求出的值，再求出平方根即可．

解：（1）的立方根是，的算术平方根是，的小数部分为，

，，，

解得：，，；

（2），

即的平方根为．

【点拨】此题考查平方根、立方根、算术平方根、估算无理数的大小，能求出a、b、c的值是解题的关键．

类型二、无理数的估算

2．阅读下面的两则材料，解答问题

材料1：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分

材料2：因为，所以式子①和式子②均成立．

请解答下列问题：

(1)的整数部分是______，小数部分是______．

(2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．

【答案】(1)5；(2)

【分析】

（1）估算无理数的大小，即可确定的整数部分和小数部分；

（2）估算无理数5+和5-的大小，进而确定a、b的值，再代入计算即可．

解：(1)∵，

∴5＜＜6，

∴的整数部分为5，小数部分为-5，

故答案为：5， -5；

(2)∵2＜＜3，

∴7＜5+＜8，

∴5+的小数部分a=5+-7=-2，

∵2＜＜3，

∴-3＜-＜-2，

∴2＜5-＜3，

∴5-的整数部分为b=2，

∴

【点拨】本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提，确定a、b的值是求代数式值的关键．

举一反三：

【变式1】阅读下列材料：

∵，即，

∴的整数部分为1，小数部分为．

请根据材料提示，进行解答：

(1)的整数部分是______，小数部分是______．

(2)如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．

(3)已知：，其中a是整数，且，请直接写出a，b的值．

【答案】(1)3，；(2)；(3)，

【分析】

（1）根据材料类比进行计算，∵，即，可知结果；

（2）参考材料，求出m、n进行计算即可；

（3）首先求出的整式及小数部分，再进行求值即可．

(1)解：∵，即，

∴的整数部分为3，小数部分为

(2)∵，

∴．

∵，

∴，

∴．

(3)∵，

∴，

∴，．

【点拨】本题主要考查的是实数的应用，理解材料并灵活运用是解题的关键．

【变式2】下面是探索的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是，易知．因此可设，画出如下示意图．

由图中面积计算，，

另一方面由题意知

所以

略去，得方程．解得．

因为，所以．

仿照上述方法，来探究的近似值（精确到0.001）；已经画出了示意图，请根据示意图，写出求解过程．

【答案】，见分析

【分析】类比题中的方法，利用面积是13的正方形边长为，设，根据正方形的面积可得，然后略去，得方程，即可求解．

解：因为．因此可设，

由图中面积计算可知，

，

另一方面由题意可得，

，

略去，得方程，

解得，

，

；

【点拨】本题考查了估算无理数的大小：利用面积法和方程的思想，构建一元一次方程是解决问题的关键．也考查了类比方法的运用．

类型三、无理数整数部分的有关计算

3．（1）的整数部分是_____，小数部分是_____；

（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．

【答案】（1）3，；（2）

【分析】

（1）直接利用的取值范围进而得出答案；

（2）分别求出、的取值范围进而得出答案．

解：（1）∵32＜10＜42，

∴3＜＜4，

∴的整数部分是3，小数部分是；

（2）∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴．

【点拨】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出无理数的取值范围是解题关键．

举一反三：

【变式1】我们知道，是一个无理数，将这个数减去整数部分，差就是小数部分，即整数部分是1，小数部分是．请解答以下问题：

(1)的小数部分_________，的小数部分_________．

(2)若，其中为整数，，求的值．

【答案】(1)，(2)11

【分析】

（1）根据被开方数越大算术平方根越大，可得，，根据这个数减去整数部分，差就是小数部分，可得答案；

（2）这个数减去整数部分，差就是小数部分，可得答案．

(1)解：∵，，

∴的整数部分是3，的整数部分是2，

∴的小数部分是，的小数部分是，

故答案为：，；

(2)解：∵，其中为整数，，

又∵，

∴的整数部分是9，小数部分是，

∴x=9，y=，

∴．

【点拨】本题考查了无理数的估算．

【变式2】已知是的整数部分，是的小数部分，求的平方根．

【答案】

【分析】由得出，，然后代入即可得出答案．

解：，

，，

，

的平方根为，

的平方根为．

【点拨】本题考查了平方根的计算，解题的关键是掌握无理数的大小估算方法以及平方根的定义．