人教版高中数学必修第二册第七章复数检测试题含答案

第七章　检测试题

选题明细表

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.如果复数(b∈R)的实部与虚部相等,那么b等于(　A　)

(A)-2   (B)1    (C)2    (D)4

解析:==b-2i,所以实部为b,虚部为-2,所以b=-2.故选A.

2.设x∈R,i是虚数单位,则“x=-3”是“复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数”的(　C　)

(A)充分不必要条件

(B)必要不充分条件

(C)充要条件

(D)既不充分也不必要条件

解析:复数z=(x2+2x-3)+(x-1)i为纯虚数,则x2+2x-3=0且x-1≠0,解得x=-3,故x=-3⇔复数z为纯虚数.故选C.

3.若z=,则|z|等于(　A　)

(A)      (B)    (C)    (D)

解析:z===,

所以|z|==.故选A.

4.A,B分别是复数z1,z2在复平面内对应的点,O是原点,若|z1+z2|=

|z1-z2|,则△AOB一定是(　B　)

(A)等腰三角形 (B)直角三角形

(C)等边三角形 (D)等腰直角三角形

解析:根据复数加(减)法的几何意义知,以,为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB为直角三角形.故选B.

5.已知i为虚数单位,复数z=(a∈R)是纯虚数,则|-ai|等于(　C　)

(A)       (B)4     (C)3     (D)2

解析:由z==为纯虚数,

所以解得a=-2,所以|+2i|==3.故选C.

6.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　A　)

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

解析:设复数z与复平面内的点Z相对应,由△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,及由|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|可知点Z到△ABC的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z即为△ABC的外心.故选A.

7.已知复数z1=3-bi,z2=1-2i,若是实数,则实数b等于(　A　)

(A)6      (B)-6    (C)0     (D)

解析:因为===是实数,

所以6-b=0,

所以实数b的值为6.故选A.

8.计算+的值等于(　C　)

(A)0 (B)1 (C)2i (D)i

解析:原式=+=+=+i=

+i=+i=2i.故选C.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)

9.若复数z=-i,则(　AC　)

(A)|z|=2               (B)|z|=4

(C)z的共轭复数 =+i (D)z2=4-2i

解析:依题意|z|==2,故A选项正确,B选项错误.

=+i,C选项正确.

z2=(-i)2=3-2i+i2=2-2i,D选项错误.故选AC.

10.设z=(-t2+4t-5)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是(　ABC　)

(A)z对应的点在第二象限

(B)z一定不为纯虚数

(C) 对应的点在实轴的下方

(D)z可以为实数

解析:因为-t2+4t-5=-(t-2)2-1<0, t2+2t+2=(t+1)2+1>0,

所以z对应的点在第二象限.故A正确;

因为-t2+4t-5=0无解,

所以z一定不为纯虚数,故B正确;

因为z与对应的点关于实轴对称,

所以对应的点在第三象限,满足在实轴的下方,故C正确;

因为t2+2t+2=0无解,

所以z一定不是实数,故D错误.故选ABC.

11.已知i为虚数单位,在复平面内,复数z=,以下说法正确的是(　CD　)

(A)复数z的虚部是i

(B)|z|=1

(C)复数z的共轭复数是 =-i

(D)复数z的共轭复数对应的点位于第四象限

解析:z====+i,

对于A,复数z的虚部是,故A错误;

对于B,|z|==,故B错误;

对于C,复数z的共轭复数是 =-i,故C正确;

对于D,=-i,在复平面内,对应点的坐标为(,-),

复数z的共轭复数对应的点位于第四象限,故D正确.故选CD.

12.已知z1与z2是共轭虚数,以下4个命题一定正确的是(　BC　)

(A)<|z2|2 (B)z1z2=|z1z2|

(C)z1+z2∈R (D)∈R

解析:z1与z2是共轭虚数,设z1=a+bi,则z2=a-bi(a,b∈R).

=a2-b2+2abi,虚数不能比较大小,选项A不正确; z1z2=|z1z2|=a2+b2,选项B正确;z1+z2=2a∈R,选项C正确;===+

i不一定是实数,选项D不一定正确.故选BC.

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)

13.设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=　　　　. 

解析:设z=a+bi,则(a+bi)(a-bi)=z=|z|2=3.

答案:3

14.已知复数z1=cos 15°+isin 15°和复数z2=cos 45°+isin 45°,则z1·z2=　　　　. 

解析:z1·z2=(cos 15°+isin 15°)(cos 45°+isin 45°)=

(cos 15°cos 45°-sin 15°sin 45°)+(sin 15°cos 45°+

cos 15°sin 45°)i=cos 60°+isin 60°=+i.

答案:+i

15.已知a∈R,若为实数,则a=　　　　,||=　　　　. 

解析:===+i.

因为为实数,

所以=0,

所以a=-.

所以||=.

答案:-　

16.已知关于x的方程x2+(1+2i)x-(3m-1)i=0有实根,则纯虚数m的值是　　　　. 

解析:方程有实根,不妨设其一根为x0,设m=ai代入方程得

+(1+2i)x0-(3ai-1)i=0,

化简得,(2x0+1)i++x0+3a=0,

所以解得a=,

所以m=i.

答案:i

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

已知复数z满足(1+2i)z=4+3i,求z及.

解:因为(1+2i)z=4+3i,

所以z===2-i,

故=2+i.

所以====-i.

18.(本小题满分12分)

已知复数z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数.

(1)求复数z及|z|;

(2)在复平面内,若复数(z-mi)2(m∈R)对应点在第二象限,求实数m的取值范围.

解:(1)因为z=a-i(a∈R),且z(1+i)是纯虚数,

所以(a-i)(1+i)=(a+1)+(a-1)i是纯虚数,

则即a=-1.

所以z=-1-i,|z|==.

(2)(z-mi)2=[-1-(m+1)i]2=1-(m+1)2+2(m+1)i,

由题意可得解得m>0.

所以实数m的取值范围是(0,+∞).

19.(本小题满分12分)

已知平行四边形ABCD中,与对应的复数分别是3+2i与1+4i,两对角线AC与BD相交于P点.

(1)求对应的复数;

(2)求对应的复数;

(3)求△APB的面积.

解:(1)由于四边形ABCD是平行四边形,

所以=+,于是=-,

而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i,

故对应的复数是-2+2i.

(2)由于=-,

而(3+2i)-(-2+2i)=5,

故对应的复数是5.

(3)由于==-=(-,-2),==(,0),

于是·=-,

而||=,||=,

所以×cos∠APB=-,

因此cos∠APB=-,

故sin∠APB=,

故S△APB=||||sin∠APB=×××=.

故△APB的面积为.

20.(本小题满分12分)

已知复数z满足|z|=,z2的虚部为2.

(1)求复数z;

(2)设z,z2,z-z2在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.

解:(1)设z=a+bi(a,b∈R),

由已知条件得a2+b2=2,z2=a2-b2+2abi,

所以2ab=2.

所以a=b=1或a=b=-1,

即z=1+i或z=-1-i.

(2)当z=1+i时,z2=(1+i)2=2i,z-z2=1-i,所以点A(1,1),B(0,2),

C(1,-1),

所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1;

当z=-1-i时,z2=(-1-i)2=2i,

z-z2=-1-3i.

所以点A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3),

所以S△ABC=|AC|·1=×2×1=1.

故△ABC的面积为1.

21.(本小题满分12分)

设复数z1=(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i,a∈R,θ∈(0,π),z2在复平面内对应的点在第一象限,且=-3+4i.

(1)求z2及|z2|;

(2)若z1=z2,求θ与a2的值.

解:(1)设z2=x+yi(x,y∈R),

则=(x+yi)2=x2-y2+2xyi,

因此x2-y2+2xyi=-3+4i.

所以解得或

所以z2=1+2i或z2=-1-2i.

又因为z2在复平面内对应的点在第一象限,则z2=-1-2i应舍去,

故z2=1+2i,|z2|=.

(2)由(1)知(a2-4sin2θ)+(1+2cos θ)i=1+2i,

即解得cos θ=,

因为θ∈(0,π),所以θ=,

所以a2=1+4sin2θ=1+4×=4.

综上可知,θ=,a2=4.

22.(本小题满分12分)

设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.

(1)求|z|的值及z的实部的取值范围.

(2)设μ=,求证:μ为纯虚数.

(1)解:因为z是虚数,

所以可设z=x+yi(x,y∈R,且y≠0),

则ω=z+=(x+yi)+=x+yi+=(x+)+(y-)i.

因为ω是实数,且y≠0,

所以y-=0,即x2+y2=1.

所以|z|=1,此时ω=2x.

又-1<ω<2,所以-1<2x<2.

所以-<x<1,

即z的实部的取值范围是(-,1).

(2)证明:μ==

=

=. 

又x2+y2=1,所以μ=-i.

因为y≠0,所以μ为纯虚数.