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人教版高中数学必修第二册第八章立体几何初步检测试题含答案
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第八章 检测试题
选题明细表
知识点、方法 | 题号 |
空间几何体的结构及其面积 | 1,3,10,13,15,17 |
空间几何体的体积 | 5,7,14,17,19 |
空间点、线、面间的位置关系 | 2,9,11,12 |
空间直线、平面垂直与平行的判定和性质 | 6,8,18,19,21 |
空间角 | 4,16,20,22 |
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( C )
(A)(1)是棱台 (B)(2)是圆台
(C)(3)是棱锥 (D)(4)不是棱柱
解析:图(1)不是由棱锥截来的,所以(1)不是棱台;图(2)上、下两个面不平行,所以(2)不是圆台;图(3)是棱锥;图(4)前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以(4)是棱柱.故选C.
2.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得( B )
(A)a⊂α,b⊂α (B)a⊂α,b∥α
(C)a⊥α,b⊥α (D)a⊂α,b⊥α
解析:因为已知两条不相交的空间直线a和b,
所以可以在直线a上任取一点A,
则Ab,过A作直线c∥b,则过直线a,c必存在平面α且使得a⊂α,
b∥α.故选B.
3.如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,斜边O′B′=2,则这个平面图形的面积是( D )
(A) (B)1 (C) (D)2
解析:因为Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图,
斜边O′B′=2,
所以Rt△O′A′B′的直角边长是,
所以Rt△O′A′B′的面积是××=1,
所以原平面图形的面积是1×2=2.故选D.
4.如图,在正四面体DABC中,P∈平面DBA,则在平面DAB内过点P与直线BC成60°角的直线共有( C )
(A)0条 (B)1条 (C)2条 (D)3条
解析:过点P分别作BD,AB的平行线,这两条直线都符合题意.故选C.
5.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,棱锥A1ABCD的体积与长方体的体积的比值为( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:设长方体过同一顶点的棱长分别为a,b,c,则长方体的体积为V1=abc,四棱锥A1ABCD的体积为V2=abc,所以棱锥A1ABCD的体积与长方体的体积的比值为.故选C.
6.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=
2AB,则下列结论正确的是( D )
(A)PB⊥AD
(B)平面PAB⊥平面PBC
(C)直线BC∥平面PAE
(D)直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析:选项A,B,C显然错误.
因为PA⊥平面ABC,
所以∠PDA是直线PD与平面ABC所成的角.
因为六边形ABCDEF是正六边形,
所以AD=2AB.
因为tan∠PDA===1,
所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.
故选D.
7.在四面体PABC中,PA⊥PB,PA=PB=3,AC=2,BC=,则该四面体外接球的表面积为( D )
(A)9π (B)18π (C)9π (D)18π
解析:如图所示,
因为PA⊥PB,PA=PB=3,
所以AB=3.
因为AC=2,BC=,
所以AB2=AC2+BC2,
所以AC⊥BC.
设AB的中点为O,
则OA=OB=OC=OP=,
即四面体的外接球半径R=,
所以外接球表面积为4πR2=18π.故选D.
8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,动点E在线A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中错误的是( D )
(A)FM∥A1C1
(B)BM⊥平面CC1F
(C)三棱锥BCEF的体积为定值
(D)存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D
解析:在A中,因为F,M分别是AD,CD的中点,所以FM∥AC∥A1C1,故A正确;
在B中,因为tan∠BMC==2,
tan∠CFD==2,故∠BMC=∠CFD,
故∠BMC+∠DCF=∠CFD+∠DCF=.
故BM⊥CF,又有BM⊥C1C,
所以BM⊥平面CC1F,故B正确;
在C中,三棱锥BCEF以平面BCF为底,则高是定值,所以三棱锥BCEF的体积为定值,故C正确.
在D中,BF与平面CC1D1D有交点,所以不存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D,故D错误.故选D.
二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,Al,若直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则( ABC )
(A)AB∥m (B)AC⊥m
(C)AB∥β (D)AC⊥β
解析:因为m∥α,m∥β,α∩β=l,
所以m∥l,又AB∥l,
所以AB∥m,故A正确;
因为AC⊥l,m∥l,所以AC⊥m,故B正确;
因为A∈α,AB∥l,l⊂α,
所以B∈α,所以AB⊄β,l⊂β,
所以AB∥β,故C正确;
因为AC⊥l,
当点C在α内时,AC⊥β成立,
当点C不在α内时,AC⊥β不成立,故D不正确.故选ABC.
10.用一张长、宽分别为8 cm和4 cm的矩形硬纸折成正四棱柱的侧面,则此正四棱柱的对角线长为( BD )
(A) cm (B)2 cm
(C)32 cm (D) cm
解析:分两种情况:①以4 cm的长为高,则正四棱柱底面是边长为2 cm的正方形,因此对角线长l1==2(cm).
②以8 cm长为高,则正四棱柱底面是边长为1 cm的正方形,因此对角线长l2==(cm).故选BD.
11.如图,四边形ABCD是圆柱的轴截面,E是底面圆周上异于A,B的一点,则下面结论中正确的是( ABD )
(A)AE⊥CE
(B)BE⊥DE
(C)DE⊥平面CEB
(D)平面ADE⊥平面BCE
解析:由AB是底面圆的直径,则∠AEB=90°,
即AE⊥EB.
因为四边形ABCD是圆柱的轴截面,
所以AD⊥底面AEB,BC⊥底面AEB.
所以BE⊥AD,
又AD∩AE=A,AD,AE⊂平面ADE,
所以BE⊥平面ADE,DE⊂平面ADE,
所以BE⊥DE.
同理可得AE⊥CE.
又因为BE⊂平面BCE,
所以平面BCE⊥平面ADE.
故选ABD.
12.如图①,直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF翻折,如图②,在翻折的过程中(平面ABFE和平面CDEF不重合),下面说法不正确的是( ABD )
(A)存在某一位置,使得CD∥平面ABFE
(B)存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE
(C)在翻折的过程中,BF∥平面ADE恒成立
(D)在翻折的过程中,BF⊥平面CDEF恒成立
解析:在A中,因为四边形DEFC是梯形,
DE∥CF,所以CD与EF相交,
所以CD与平面ABFE相交,故A错误;
在B中,因为四边形DEFC是梯形,DE⊥CD,
所以DE与EF不垂直,
所以不存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE,
故B错误;在C中,因为四边形ABFE是梯形,
AE∥BF,BF⊄平面ADE,AE⊂平面ADE,
所以在翻折的过程中,BF∥平面ADE恒成立,
故C正确;在D中,因为四边形ABFE是梯形,
AB⊥BF,所以BF与FE不垂直,在翻折的过程中,
BF⊥平面CDEF不成立,故D错误.
故选ABD.
三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)
13.若一个圆台的母线长为l,上、下底面半径分别为r1,r2,且满足2l=r1+r2,其侧面积为8π,则l= .
解析:S圆台侧=π(r1+r2)l=2πl2=8π,所以l=2.
答案:2
14.张衡是中国东汉时期杰出的科学家、文学家,他的数学著作有《算罔论》.他定出圆周率π=.现有棱长为6的正方体,利用张衡的结论可得该正方体的内切球的体积为 .
解析:设正方体的棱长为a,内切球的半径为r,则a=2r.
因为a=6,所以r=3,又π=,
所以球的体积为V=πr3=××(3)3=3 600.
答案:3 600
15.已知圆锥的底面半径为2,高为4,在圆锥内部有一个圆柱,则圆柱的侧面积的最大值为 .
解析:如图是圆锥与圆柱的轴截面,设内接圆柱的高为a,圆柱的底面半径为r(0<r<2),则由=,可得a=4-2r,所以圆柱的侧面积为
S=2πr·(4-2r)=-4πr2+8πr=-4π(r-1)2+4π,
所以r=1时,该圆柱的侧面积取最大值4π.
答案:4π
16.已知二面角αlβ为60°,动点P,Q分别在平面α,β内,P到β的距离为,Q到α的距离为2,则P,Q两点之间距离的最小值为 ,此时直线PQ与平面α所成的角为 .(本题第一空3分,第二空2分)
解析:如图,分别作QA⊥α于点A,AC⊥l于点C,PB⊥β于点B,PD⊥l于点D,连接CQ,BD,
则∠ACQ=∠PDB=60°,AQ=2,BP=,
所以AC=PD=2.
又因为PQ==≥2,当且仅当AP=0,即点A与点P重合时取最小值,此时,PQ⊥平面α,故PQ与平面α所成的角为90°.
答案:2 90°
四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
如图,圆锥PO的底面直径和高均是a,过PO的中点O′作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱.
(1)求圆柱的表面积;
(2)求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积.
解:(1)设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为r′,
因为过PO的中点O′作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,
可得r=,r′=,且圆柱母线长l′=,
圆锥母线长l==a,
所以圆柱的表面积为
S表=2πr′2+2πr′l′=2π·()2+2π··=πa2.
(2)剩下几何体的体积
V=πr2·OP-πr′2·OO′=π·()2·a-π·()2·=πa3.
18.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥PABC中,AB⊥平面PAC,∠APC=90°,E是AB的中点,M是CE的中点,N在PB上,且PB=4PN.
(1)求证:平面PCE⊥平面PAB;
(2)求证:MN∥平面PAC.
证明:(1)因为AB⊥平面PAC,所以AB⊥PC.
又∠APC=90°,所以AP⊥PC,
又AB∩AP=A,所以PC⊥平面PAB.
又PC⊂平面PCE,
所以平面PCE⊥平面PAB.
(2)取AE的中点Q,连接QN,QM(图略),
在△AEC中,因为M是CE的中点,
所以QM∥AC.
又PB=4PN,AB=4AQ,
所以QN∥AP,
又QM∩QN=Q,AC∩AP=A,
所以平面QMN∥平面PAC.
又MN⊂平面QMN,
所以MN∥平面PAC.
19.(本小题满分12分)
如图①,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点,将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置,得到四棱锥A1BCDE.
(1)求证:CD⊥平面A1OC.
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1BCDE的体积为36,求a的值.
(1)证明:在题图①中,因为AB=BC=AD=a,E是AD的中点,∠BAD=90°,
所以BE⊥AC,BC=ED,
即在题图②中,BE⊥A1O,BE⊥OC,从而BE⊥平面A1OC.
又BCED,所以四边形BCDE是平行四边形,
所以CD∥BE,所以CD⊥平面A1OC.
(2)解:由已知,平面A1BE⊥平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,即A1O是四棱锥A1BCDE的高.
由题图①,可知A1O=AB=a,
平行四边形BCDE的面积S=BC·AB=a2.
从而四棱锥A1BCDE的体积
V=S·A1O=a2·a=a3.
由a3=36,得a=6.
20.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥PABC中,∠ACB=90°,PA⊥底面ABC.
(1)求证:平面PAC⊥平面PBC.
(2)若PA=AC=1,BC=2,M是PB的中点,求AM与平面PBC所成角的正
切值.
(1)证明:在三棱锥PABC中,因为PA⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,
所以PA⊥BC,又因为∠ACB=90°,即BC⊥AC,因为PA∩AC=A,所以
BC⊥平面PAC,因为BC⊂平面PBC,所以平面PAC⊥平面PBC.
(2)解:在平面PAC内,过点A作AD⊥PC,连接DM,
因为BC⊥平面PAC,AD⊂平面PAC,
所以AD⊥BC,
因为AD⊥PC,BC∩PC=C,
所以AD⊥平面PBC,
所以∠AMD是直线AM与平面PBC所成的角.
因为PA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
所以PA⊥AC,
在Rt△PAC中,因为PA=AC=1,
所以PC==,
因为AD⊥PC,所以D为PC的中点,
且AD=PC=,
又因为M是PB的中点,在△PBC中,
MD=BC=1,
因为AD⊥平面PBC,DM⊂平面PBC,
所以AD⊥DM,
在Rt△ADM中,tan∠AMD===.
所以AM与平面PBC所成角的正切值为.
21.(本小题满分12分)
如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为a的菱形,∠DAB=
60°,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.
(1)求证:AD⊥PB.
(2)若E为BC边的中点,能否在棱PC上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论.
(1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG,如图所示.
因为△PAD为正三角形,
所以PG⊥AD.
在菱形ABCD中,∠DAB=60°,
G为AD的中点,所以BG⊥AD.
又BG∩PG=G,所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB,所以AD⊥PB.
(2)解:当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下:设F为PC的中点,则在△PBC中,FE∥PB.在菱形ABCD中,
GB∥DE,而FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE=E,
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.
22.(本小题满分12分)
《九章算术》是中国古代的一部数学专著,《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.如图,在三棱锥PABC中,
PA⊥平面ABC.
(1)从三棱锥PABC中选择合适的两条棱填空: ⊥ ,则三棱锥PABC为“鳖臑”.
(2)若AD⊥PB,垂足为D,AE⊥PC,垂足为E,∠ABC=90°.
①证明:平面ADE⊥平面PAC.
②设平面ADE与平面ABC交线为l,若PA=2,AC=2,求二面角ElC的大小.
(1)解:因为“鳖臑”是由四个直角三角形组成的四面体,又PA⊥平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC,
所以△PAB,△PAC为直角三角形;
若BC⊥AB,由AB∩PA=A,AB,PA⊂平面PAB,可得BC⊥平面PAB,
所以BC⊥PB,所以△ABC,△PBC为直角三角形;满足四个面都是直角三角形.
同理,可得BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC,
都能满足四个面都是直角三角形.
故可填:BC⊥AB或BC⊥AC或BC⊥PB或BC⊥PC.
(2)①证明:因为PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,
所以PA⊥BC,
又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,
所以BC⊥平面PAB,
又AD⊂平面PAB,
所以BC⊥AD,
又AD⊥PB,PB∩BC=B,PB,BC⊂平面PBC,
所以AD⊥平面PBC,
又PC⊂平面PBC,
所以PC⊥AD,
又AE⊥PC,AE∩AD=A,AD,AE⊂平面ADE,
所以PC⊥平面ADE,
又PC⊂平面PAC,
所以平面ADE⊥平面PAC.
②解:由题意知,在平面PBC中,直线DE与直线BC相交.
如图所示,设DE∩BC=F,连接AF,
则AF即为l.
因为PC⊥平面AED,l⊂平面AED,
所以PC⊥l,
因为PA⊥平面ABC,l⊂平面ABC,
所以PA⊥l,
又PA∩PC=P,PA,PC⊂平面PAC,
所以l⊥平面PAC,
又AE,AC⊂平面PAC,
所以AE⊥l,AC⊥l.
所以∠EAC即为二面角ElC的一个平面角.
在△PAC中,PA⊥AC,PA=2,AC=2,
所以PC=4,
又AE⊥PC,
所以AE===,
所以cos∠EAC==,
所以∠EAC=30°,
所以二面角ElC的大小为30°.