人教版高中数学必修第二册第七章复数课时作业含答案

7.2.2　复数的乘、除运算

选题明细表

基础巩固

1.已知z=1-i2 020,则|z+2i|等于(　C　)

(A)     (B)2     (C)2      (D)

解析:因为z=1-i2 020=1-i4×505=1-1=0,所以|z+2i|=|2i|=2.故选C.

2.(2021·新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(+i)等于(　C　)

(A)6-2i (B)4-2i

(C)6+2i (D)4+2i

解析:因为z=2-i,故=2+i,故z(+i)=(2-i)(2+2i)=6+2i.故选C.

3.(多选题)已知复数z=(1+2i)·(2-i),为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　BCD　)

(A)z的虚部为3i

(B)||=5

(C)z-4为纯虚数

(D)在复平面上对应的点在第四象限

解析:因为z=(1+2i)(2-i)=4+3i,

则z的虚部为3,

||=|z|==5,z-4=3i为纯虚数,对应的点(4,-3)在第四象限.故选BCD.

4.若复数(1+i)·(a+i)在复平面内对应的点在第三象限,则实数a的取值范围是(　D　)

(A)(-∞,1) (B)(-1,+∞)

(C)(1,+∞) (D)(-∞,-1)

解析:因为复数(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i在复平面内对应的点在第三象限,

所以即a<-1.

所以实数a的取值范围是(-∞,-1).故选D.

5.已知i为虚数单位,a,b∈R,复数-i=a+bi,则a-bi等于(　B　)

(A)-i (B)+i

(C)-i (D)+i

解析:由题意,复数-i=a+bi,得a+bi=-i=-i=-i,所以a-bi=+i.故选B.

6.复数z=i2 019+i6+i21,那么z=　　　　,|z|=　　　　. 

解析:复数z=i2 019+i6+i21=i3+i2+i=-i-1+i=-1,|z|=1.

答案:-1　1

7.已知i为虚数单位,若复数z=,z的共轭复数为,则z·=　 　.

解析:依题意,得z==i,

所以=-i,所以z·=i·(-i)=1.

答案:1

8.已知z是纯虚数,是实数,那么z=　　　　. 

解析:设z=bi(b∈R,b≠0),则====+i是实数,所以b+2=0,b=-2,所以z=-2i.

答案:-2i

能力提升

9.若复数z等于,则|z|等于(　D　)

(A)       (B)2     (C)    (D)

解析:z====2+i,|z|==.故选D.

10.若一个复数的实部与虚部互为相反数,则称此复数为“理想复数”.已知z=+bi(a,b∈R)为“理想复数”,则(　D　)

(A)a-5b=0 (B)3a-5b=0

(C)a+5b=0 (D)3a+5b=0

解析:因为z=+bi=+bi=+(+b)i.由题意知,=--b,

则3a+5b=0.故选D.

11.在复数范围内,方程x2+6x+10=0的根为x=　　　　. 

解析:因为Δ=b2-4ac=62-4×1×10=-4<0,所以x=

=

=-3±i.

答案:-3±i

12.已知z=1+i.

(1)如果ω=z2+3-4,求ω的值;

(2)如果=1-i,求实数a,b的值.

解:(1)因为z=1+i,

所以ω=z2+3-4=(1+i)2+3(1-i)-4=2i+3-3i-4=-1-i.

(2)因为z=1+i,

所以====(2+a)-(a+b)i=

1-i.

所以解得

应用创新

13.设复数z=+,其中i为虚数单位,则的虚部是　　　　,|z|=　　　　. 

解析:因为==-i,==i,所以z=() 2 018+

() 2 019=(-i)2 018+i2 019=i2+i3=-1-i,所以=-1+i,则的虚部为1,

|z|=.

答案:1　

14.已知x=1+2i是方程x2-mx+2n=0的一个根(m,n∈R),则m+n=

　　　　. 

解析:把x=1+2i代入x2-mx+2n=0中,

得(1+2i)2-m(1+2i)+2n=0,

即1-4+4i-m-2mi+2n=0,

所以(2n-m-3)+(4-2m)i=0,

根据复数相等的充要条件,

得即

所以m+n=+2=.

答案:

15.已知复数z满足z=(-1+3i)·(1-i)-4.

(1)求复数z的共轭复数;

(2)若复数ω=z+ai,且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模,求实数a的取值范围.

解:(1)z=-1+i+3i+3-4=-2+4i,所以复数z的共轭复数为-2-4i.

(2)ω=-2+(4+a)i,

复数ω对应向量为(-2,4+a),

其模为=.

又复数z所对应向量为(-2,4),其模为2.

由复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模得,20+8a+a2≤20,a2+8a≤0,a(a+8)≤0,解得-8≤a≤0,

所以实数a的取值范围是[-8,0].