湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式学案

这是一份湘教版（2019）必修 第一册2.3 一元二次不等式学案，共13页。

第1课时 一元二次不等式及其解法(1)
教材要点
要点 一元二次不等式
一元二次不等式的概念及形式
(1)概念：我们把只含有________未知数，并且未知数的最高次数是______的不等式，称为一元二次不等式．
(2)形式：
①ax2＋bx＋c＞0(a≠0)；
②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；
③ax2＋bx＋c＜0(a≠0)；
④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
状元随笔 一元二次不等式的二次项系数 a有a＞0或a＜0两种，注意a≠0.当a＜0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
基础自测
1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)mx2＋5x＜0是一元二次不等式．( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}，则必有a＞0.( )
(3)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.( )
2．不等式2x2－x－1＞0的解集是( )
A．{x|x＜-12或x＞1} B．{x|x＜1或x＞2}
C．{x|x＞1} D．{x|--12＜x＜1}
3．若不等式ax2＋8ax＋21＜0的解集是{x|－7＜x＜－1}，那么a的值是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．不等式x2＋6x＋10＞0的解集为________．
题型1 不含参数的一元二次不等式的解法
例1 解不等式：(1)－3x2＋6x－2＞0；
(2)4x2－4x＋1≤0.
方法归纳
解不含参数的一元二次不等式的步骤
1．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正．
2．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．
3．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根．
4．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数图象的草图．
5．根据图象写出不等式的解集．
记忆口诀：
设相应的二次函数的图象开口向上，并与x轴相交，则有口诀：大于取两边；小于取中间．
跟踪训练1 (1)不等式x+1x-2＜0的解集为( )
A．{x|x＜－1或x＞2} B．x-1＜x＜2
C．{x|x＜－2或x＞1} D．x-2＜x＜1
(2)不等式－x2－3x＋4＜0的解集为( )
A．{x|x＞1或x＜－4} B．{x|x＞－1或x＜－4}
C．{x|－4＜x＜1} D．{x|x＜－1或x＞4}
题型2 利用不等式解集求系数
例2 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a＜0的解集．
方法归纳
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
跟踪训练2 已知一元二次不等式x2＋px＋q＜0的解集为{x|-12＜x＜13}，求不等式qx2＋px＋1＞0的解集．
题型3 解含参数的一元二次不等式
角度1 对判别式“Δ”进行讨论
例3 解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
角度2 对根的大小进行讨论
例4 解关于x的不等式x2＋2x＋1－a2≤0(a∈R)．
角度3 对二次项系数进行讨论
例5 设a∈R，解关于x的不等式ax2＋(1－2a)x－2＞0.
方法归纳
解含参数的一元二次不等式的步骤
跟踪训练3 解关于x的不等式(a－x)(x－a2)＜0，a∈R.
易错辨析 忽视二次项系数致误
例6 若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax的解集为( )
A．{x|－2＜x＜1} B．{x|x＜－2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3} D．{x|0＜x＜3}
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，
所以－1和2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＜0，
所以－ba＝－1＋2＝1，ca＝－2，即b＝－a，c＝－2a，
代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax整理得a(x2－3x)＞0，
因为a＜0，所以x2－3x＜0，所以0＜x＜3.故选D.
答案：D
易错警示
课堂十分钟
1．已知集合M＝{x|－4＜x＜2}，N＝{x|x2－x－6＜0}，则M∩N＝( )
A．{x|－4＜x＜3} B．{x|－4＜x＜－2}
C．{x|－2＜x＜2} D．{x|2＜x＜3}
2．关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|－3＜x＜1}，则关于x的不等式cx2＋bx＋a＞0的解集为( )
A．{x|-13＜x＜1} B．{x|-1＜x＜13}
C．{x|x＜-13或x＞1} D．{x|x＜-1或x＞13}
3．已知2a＋1＜0，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解集是( )
A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a}
C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a}
4．已知x＝1在不等式k2x2－6kx＋8≥0的解集内，则k的取值范围是________．
5. 已知函数y＝x2－(a＋b)x＋2a.
(1)若关于x的不等式y＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值；
(2)当b＝2时，解关于x的不等式y＞0.
2．3 一元二次不等式
2．3.1 一元二次不等式及其解法
第1课时 一元二次不等式及其解法(1)
新知初探·课前预习
要点
一个 2
[基础自测]
1．答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．解析：原不等式化为(2x＋1)(x－1)>0，所以x<－12或x>1.故选A.
答案：A
3．解析：由题意可知a>0，且－7和－1为方程ax2＋8ax＋21＝0的两个根，∴由根与系数的关系得(－7)×(－1)＝21a，解得a＝3.故选C.
答案：C
4．解析：∵Δ＝62－4×10＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0无解．即函数y＝x2＋6x＋10的图象在x轴上方，所以不等式x2＋6x＋10>0的解集为R.
答案：R
题型探究·课堂解透
例1 解析：(1)不等式可化为3x2－6x＋2＜0.对应方程3x2－6x＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12＞0，所以它有两个实数根．解得x1＝1－33，x2＝1＋33.画出二次函数y＝3x2－6x＋2的图象(如图①)，结合图象得不等式3x2－6x＋2＜0的解集是{x|1-33＜x＜1＋33}.所以不等式－3x2＋6x－2＞0的解集是{x|1－33＜x＜1＋33}.
(2)方程4x2－4x＋1＝0的解是x1＝x2＝12，画出二次函数y＝4x2－4x＋1的图象(如图②)，结合图象得不等式4x2－4x＋1≤0的解集是{x|x=12}.
跟踪训练1 解析：(1)因为x+1x-2<0，
所以对应的方程为(x＋1)(x－2)＝0，解得x1＝－1，x2＝2，
所以不等式x+1x-2<0的解集为x-1故选B.
(2)原不等式变为x2＋3x－4>0，因式分解得：(x－1)(x＋4)>0，解得x>1或x<－4.故原不等式的解集为{x|x>1或x<－4}．故选A.
答案：(1)B (2)A
例2 解析：方法一 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|x<13或x>12}.
方法二 由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|212}.
跟踪训练2 解析：因为x2＋px＋q<0的解集为{x|-12所以x1＝－12与x2＝13是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，
由根与系数的关系得13-12=-p13×-12=q
解得p=16，q=-16.
所以不等式qx2＋px＋1>0即为－16x2＋16x＋1>0，
整理得x2－x－6<0，解得－2即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2例3 解析：Δ＝a2－16，下面分情况讨论：
(1)当Δ＜0，即－4＜a＜4时，方程2x2＋ax＋2＝0无实根，所以原不等式的解集为R.
(2)当Δ＝0，即a＝±4时，若a＝－4，则原不等式等价于(x－1)2＞0，故x≠1；若a＝4，则原不等式等价于(x＋1)2＞0，故x≠－1；
(3)当Δ＞0，即a＞4或a＜－4时，方程2x2＋ax＋2＝0的两个根为x1＝14(－a－a2-16)，x2＝14(－a＋a2-16)．
此时原不等式等价于(x－x1)(x－x2)＞0，
∴x＜x1或x＞x2.
综上，当－4＜a＜4时，原不等式的解集为R；
当a＝－4时原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＞4或a＜－4时，原不等式的解集为{x|x＜14(－a－a2-16)，或x＞14(－a＋a2-16)}；
当a＝4时，原不等式的解集为{x|x∈R，且x≠－1}．
例4 解析：原不等式等价于(x＋1＋a)(x＋1－a)≤0.
(1)当－1－a＜－1＋a，
即a＞0时，－1－a≤x≤－1＋a；
(2)当－1－a＝－1＋a，
即a＝0时，不等式即(x＋1)2≤0，
∴x＝－1；
(3)当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，－1＋a≤x≤－1－a.
综上，当a＞0时，原不等式的解集为{x|－1－a≤x≤－1＋a}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜0时，原不等式的解集为{x|－1＋a≤x≤－1－a}．
例5 解析：(1)当a＝0时，不等式可化为x－2＞0，解得x＞2，即原不等式的解集为{x|x＞2}．
(2)当a≠0时，方程ax2＋(1－2a)x－2＝0的两根分别为2和－1a.
①当a＜－12时，解不等式得－1a＜x＜2，
即原不等式的解集为{x|-1a＜x＜2}；
②当a＝－12时，不等式无解，即原不等式的解集为∅；
③当－12＜a＜0时，解不等式得2＜x＜－1a，
即原不等式的解集为{x|2＜x＜-1a}；
④当a＞0时，解不等式得x＜－1a或x＞2
即原不等式的解集为{x|x＜-1a，或x＞2}.
跟踪训练3 解析：原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0，a∈R，
当a>1或a<0时，a2>a，原不等式的解集为{x|xa2}；
当0a}
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}．
[课堂十分钟]
1．解析：由题意得N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2答案：C
2．解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－3，1)，所以a<0，9a-3b+c=0，a+b+c=0，即a<0，b=2a，c=-3a.不等式cx2＋bx＋a＞0等价于3x2－2x－1＞0，
解得x<－13或x＞1.故选C.
答案：C
3．解析：∵2a＋1<0，∴a<－12，∴－a>5a.由x2－4ax－5a2＝(x－5a)(x＋a)>0得x<5a或x>－a，∴原不等式的解集为{x|x<5a或x>－a}．故选A.
答案：A
4．解析：由题意知：k2－6k＋8≥0
解得k≥4或k≤2
∴k的取值范围是k≥4或k≤2.
答案：k≤2或k≥4
5．解析：(1)∵y<0的解集为{x|1由韦达定理知：a+b=1+22a=1×2，解得：a=1b=2.
(2)当b＝2时，y＝x2－(a＋2)x＋2a＝(x－a)(x－2)>0，
当a<2时，y>0的解集为{x|x2}；
当a＝2时，y>0的解集为{x|x<2或x>2}；
当a>2时，y>0的解集为{x|x<2或x>a}．
最新课程标准
学科核心素养
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．
2．能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．
3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系．
1.会求一元二次不等式的解集．(逻辑推理、直观想象)
2．会求分式不等式的解集．(逻辑推理、数学运算)
3．理解一元二次方程、一元二次函数与一元二次不等式之间的关系，并能解决相应的问题．(逻辑推理)
易错原因
纠错心得
忽视a的范围致误，易错选C.
根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a＜0，由根与系数的关系求出a，b，c的关系，再代入不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c＞2ax，求解即可．