2020-2021学年4.4 对数函数课堂检测

4.4 对数函数

一、对数函数的概念

1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．

2、特殊的对数函数

（1）常用对数函数：以10为底的对数函数.

（2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数.

二、对数函数的图象

【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，

又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴.

题型一 对数函数的概念理解

【例1】已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ）

A．①②③        B．③④⑤        C．③④        D．②④⑥

【答案】C

【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，

其中x是自变量，a是常数.

易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；

③中，是对数函数；④中，是对数函数；

⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.

【变式1-1】给出下列函数：

①；②；③；④.

其中是对数函数的有（    ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

【答案】A

【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；

③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A.

【变式1-2】下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦.

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

【答案】B

【解析】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；

由于②中底数不能保证，且，②不是对数函数；

由于⑤⑦的真数分别为，，⑤⑦也不是对数函数；

由于⑥中的系数为2，⑥也不是对数函数；

只有③④符合对数函数的定义，故选：B.

【变式1-3】下列函数是对数函数的是(      )

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．

对于选项A，符合对数函数定义；

对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；

对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；

对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．

题型二 求对数函数的解析式

【例2】若对数函数的图象过点，则此函数的表达式为______.

【答案】

【解析】设对数函数为，，

因为对数函数的图象过点，

所以，即，解得，

所以.

【变式2-1】若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.

【答案】-3

【解析】设（且），

将代入得.

所以，.

【变式2-2】若函数为对数函数，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】由题可知：函数为对数函数

所以或，

又且，所以，故选：B

【变式2-3】已知对数函数，则______．

【答案】2

【解析】由对数函数的定义，

可得，解得．

题型三 对数函数的定义域问题

【例3】函数的定义域是（    ）

A．或        B．       C．或        D．

【答案】D

【解析】由题意得，，

解得，即函数的定义域是.故选：D

【变式3-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】函数的定义域是[1，3]，

∴，解得．

又，且，∴．

故函数的定义域是．故选：C.

【变式3-2】函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】对于函数，

由，即，解得.

因此，函数的定义域为.

【变式3-3】函数的定义域是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题意，，．故选：D．

【变式3-4】若函数的定义域为，则（    ）

A．3        B．3        C．1        D．1

【答案】A

【解析】由，得，

由题意可知上式的解集为，

所以为方程的一个根，

所以，得，故选：A

【变式3-5】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________.

【答案】

【解析】根据条件可知在R上恒成立，

则，且，解得，

故a的取值范围是.

题型四 对数型函数过定点问题

【例4】已知函数且，则该函数图象恒过定点（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为函数经过定点

所以函数且的图象经过定点.故选：B

【变式4-1】函数的图象恒过定点，则M为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】函数，令，解得，

此时，

所以函数恒过定点；故选：A

【变式4-2】函数（且）的图象经过的定点坐标为__________.

【答案】

【解析】，取

∴时，，即过定点

【变式4-3】函数（，且）恒过定点（3，2），则（    ）

A．2        B．3        C．4        D．5

【答案】C

【解析】由题意，函数，

当时，即时，可得，即函数恒经过点，

又因为恒经过点，可得，解得，

所以.故选：C.

【变式4-4】函数的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（    ）

A．16        B．8        C．4        D．2

【答案】A

【解析】当时，，

所以函数的图像恒过定点

记，则有，解得

所以.故选：A

题型五 对数函数的图象问题

【例5】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．，      B．，      C．，      D．，

【答案】D

【解析】因为函数为减函数，所以

又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即

又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D

【变式5-1】已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，

令，即，

所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，

因此，故A错误；

，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；

因为，即，且，所以，故C正确；

因为，所以，即，故D错误，故选：C.

【变式5-2】已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（    ）

A．(0，1)        B．(0， )        C．(0，1]        D．[1，+∞)

【答案】D

【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得．

的图象过点，函数为增函数，因此．故选：D．

【变式5-3】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（    ）

A．，，，    B．，，，    C．，，，    D．，，，

【答案】B

【解析】∵当时，图象呈上升趋势；

当时，图象呈下降趋势，

又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；

时，a越小，图象向右越靠近x轴，

故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B．

【变式5-4】在同一平面直角坐标系中，一次函数与对数函数（且）的图象关系可能是（    ）

A．    B．   C．    D．

【答案】C

【解析】．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，保持一致，

．由对数图象知，此时直线的纵截距，矛盾，

故选：．

【变式5-5】设幂函数，指数函数，对数函数在同一坐标系中的图象如下图所示，则它们之间的大小关系错误的是（    ）.

A．          B．

C．        D．

【答案】C

【解析】对于A：要判断的是幂函数的图像，

根据的图像可以判断，故A正确；

对于B：要判断的是指数函数的图像，

作出x=1，看交点，交点高，底数越大，所以，故B正确；

对于C、D：要判断的是对数函数的图像，

作出y=1，看交点，交点越靠由，底数越大，

所以，故D正确，C错误；

题型六 指对幂比较大小

【例6】设，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为，，，

又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，

所以，故选: D.

【变式6-1】设，，，则三者大小关系为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】因为，所以，

因为，所以，

因为，所以，

故.故选：C

【变式6-2】已知，，，则有（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】依题意，， ，

是单调递增，，，

，，

是单调递增，，，

， ，

是单调递增，，，

，，

是单调递增，，，

综上所述，，故选：D.

【变式6-3】函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（    ）

A．        B．

C．        D．

【答案】C

【解析】由偶函数知，

又，，，

显然，

又在单调递增，则.故选：C.

题型七 对数型函数的单调性

【例7】函数的单调递增区间是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】由题知的定义域为，

令，则，函数单调递增，

当时，关于单调递减，关于单调递减，

当时，关于单调递增，关于单调递增，

故的递增区间为．故选：D．

【变式7-1】函数的单调增区间为（    ）

A．        B．       C．        D．

【答案】C

【解析】由，

二次函数的对称轴为：，

所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，

而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：

函数的单调增区间为，故选：C

【变式7-2】若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．

【答案】

【解析】由函数在区间上是单调增函数，

只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，

所以满足解得．

【变式7-3】已知f（x）＝在区间[2，＋∞）上为减函数，则实数a的取值范围是________．

【答案】（－4，4]

【解析】二次函数的对称轴为x＝，

由已知，应有≤2，且满足当x≥2时y＝x2－ax＋3a>0，

即解得－4<a≤4．

故答案为：（－4，4]

【变式7-4】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为在定义域上是增函数，

当时单调递增且，

当时也单调递增，

所以，即，

所以，即；故选：B

题型八 解对数型不等式

【例8】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．

【答案】

【解析】，

，解得或.

【变式8-1】不等式的解集为______.

【答案】

【解析】由，可得，

所以，

解得：或，

不等式的解集为.

【变式8-2】设，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．，

【答案】C

【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：．

所以的取值范围是，故选：C.

【变式8-3】不等式的解集是_______．

【答案】当时，解集为；当时，解集为

【解析】∵，

∴原不等式等价于，

当>1时，，解得0＜x＜2．

当时，，解得2＜x＜4．

∴当>1时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

故答案为：当>1时，解集为；当时，解集为

【变式8-4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．

【答案】

【解析】因为，所以，而，则，于是  .

【变式8-5】设函数，则使得成立的的取值范围为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】方法一 :

由得，

则，解得或.

方法二 :根据题意，函数，其定义域为，

有，即函数为偶函数，

设，则，

在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，

则在上为增函数，

，

解得或，故选：D．

【变式8-6】已知函数，求不等式的解集．

【答案】或

【解析】，

则不等式，即或，

故或，

所以不等式的解集为或．

题型九 对数型函数的就奇偶性问题

【例9】已知函数，求函数的定义域，并判断其奇偶性.

【答案】；奇函数

【解析】由解得或，所以的定义域为，

定义域关于原点对称，且，

所以为奇函数.

【变式9-1】若函数是奇函数，则___________，___________.

【答案】1；0

【解析】因为函数是奇函数，

故，即，即.又，

故，

即，恒成立，

故，所以或，当时无意义.

当时满足奇函数.故

综上，，

【变式9-2】若函数为定义域上的奇函数，则实数的值为______．

【答案】4

【解析】因为为定义域上的奇函数，

，

所以恒成立解得.

【变式9-3】已知函数，若是奇函数，则实数a=______．

【答案】1

【解析】由题意，，即，

所以，化简得，解得．

题型十 对数型函数的值域问题

【例10】已知函数，则的值域为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为，所以，

所以，故选：D

【变式10-1】若，则函数的值域为________.

【答案】

【解析】因为，，

令，

因此，即的值域为．

【变式10-2】函数的最小值是（    ）．

A．10        B．1        C．11        D．

【答案】B

【解析】设，则，

因为，

所以，所以的最小值为1，故选：B

【变式10-3】已知函数（a>0且a≠1）的图象过点.

（1）求a的值及的定义域；

（2）求的单调递减区间；

（3）求在上的最小值.

【答案】（1），定义域；（2）；（3）

【解析】（1）的图象过点，

可得：，解得：

则有：

定义域满足：，解得：

故的定义域为

（2）由（1）知：

令

可得：在上单调递减

故的单调递减区间为：.

（3）令，

故当x=3时，

可得：

【变式10-4】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.

【答案】

【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，

因此应有解得.