数学必修 第一册1.1 集合的概念复习练习题

1.1 集合的概念

一、元素与集合的概念及表示

1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，

元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．

2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，

集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．

3、集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．

二、元素的特性

1、确定性

给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．

【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合。

例如：著名的科学家、比较高的人、好人、、很难的题目等

2、互异性

一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．

简记为“互异性”．

利用集合中元素的特异性求参数：

（1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么；

（2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)．

（3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用．

3、无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．

三、元素与集合的关系

1、属于与不属于概念：

（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．

（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A．

2、元素与集合关系的判断方法：

（1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可．

（2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征．

四、常用的数集及其记法

五、列举法

把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

【注意】(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．

(2)集合中的元素必须是明确的．

(3)集合中的元素不能重复．

(4)集合中的元素可以是任何事物．

六、描述法

1、定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．

2、用描述法表示集合

（1）首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．

一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．

（2）若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围．

（3）多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内．

题型一 判断元素能否构成集合

【例1】下面给出的四类对象中，构成集合的是（    ）

A．某班视力较好的同学        B．长寿的人

C．的近似值                 D．倒数等于它本身的数

【答案】D

【解析】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；

对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；

对于C，的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，

故不能构成集合；

对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.

【变式1-1】下列各对象可以组成集合的是（    ）

A．与非常接近的全体实数

B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生

C．高一年级视力比较好的同学

D．高一年级很有才华的老师

【答案】B

【解析】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，

故不能构成集合，ACD错误；

B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.

【变式1-2】面各组对象中不能形成集合的是（    ）

A．所有的直角三角形                    B．一次函数

C．高一年级中家离学校很远的学生        D．大于2的所有实数

【答案】C

【解析】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，

一次函数，元素是确定的，可以形成集合，

大于2的所有实数，能形成集合，

而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，

这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C

【变式1-3】给出下列表述：①联合国常任理事国；②充分接近的实数的全体；③方程的实数根④全国著名的高等院校.以上能构成集合的是（    ）

A．①③        B．①②        C．①②③        D．①②③④

【答案】A

【解析】① 联合国的常任理事国有：中国、法国、美国、俄罗斯、英国.所以可以构成集合.

② 中的元素是不确定的，不满足集合确定性的条件，不能构成集合.

③ 方程的实数根是确定，所以能构成集合.

④ 全国著名的高等院校.不满足集合确定性的条件，不构成集合. 故选：A

【变式1-4】下面能构成集合的是（    ）

A．中国的小河流              B．大于5小于11的偶数

C．高一年级的优秀学生        D．某班级跑得快的学生

【答案】B

【解析】由题意，对于A，我国的小河流不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；

对于B，大于5小于11的偶数为，可以构成集合；

对于C，高一年级的优秀学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性；

对于D，某班级跑得快的学生不能构成集合，不符合集合中元素的确定性.故选：B.

题型二 判断元素与集合的关系

【例2】下列关系中正确的个数是（    ）

①，  ②，  ③，  ④

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】①不是整数，故错误

②是实数，故正确

③不是正整数，故错误

④是无理数，故正确。故选：B

【变式2-1】给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（   ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【答案】B

【解析】是实数，①正确；是无理数，②错误；

－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.

所以正确的个数为2.故选：B.

【变式2-2】给出下列四个关系：π∈R， 0∉Q ，0.7∈N， 0∈∅，其中正确的关系个数为（    ）

A．4        B．3        C．2        D．1

【答案】D

【解析】∵R表示实数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，∅表示空集，

∴π∈R，0∈Q，0.7∉N，0∉∅，

∴正确的个数为1，故选:D.

【变式2-3】（多选）下列关系中，正确的是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】AD

【解析】因为是整数集，故，所以A正确；

因为是实数集，故，所以B错误；

因为是有理数集，故，所以C错误；

因为是自然数集，故，所以D正确，故选：AD.

题型三 利用元素的互异性求参数

【例3】如果有一集合含有两个元素：x，，则实数x的取值范围是________．

【答案】且

【解析】由集合元素的互异性可得，解得且.

故答案为：且.

【变式3-1】已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a＝________.

【答案】－1

【解析】若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.

当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.

当a＝－1时，集合A中含有两个元素1，－1，符合互异性．

∴a＝－1.

【变式3-2】已知集合由，，组成，且，求__．

【答案】

【解析】根据题意，，，，因，于是有：

若，则，

此时集合中元素为，，2，不满足集合元素的互异性，不符合题意，

若，即，解得或，

时，此时集合中元素为，，，符合题意，

显然不符合题意；

若，无解，

综上得：．

【变式3-3】由，，a组成的集合含有元素2，则实数a的可能取值的个数是（    ）

A．1个        B．2个        C．3个        D．4个

【答案】A

【解析】当时，，

当时，三个数分别为2，4，1，符合元素的互异性；

当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；

当时，三个数分别为2，2，-1，不符合元素的互异性；

当时，三个数分别为5，5，2，不符合元素的互异性.

所以实数a的值可能为1，只有一个.故选：A

题型四 用列举法表示集合

【例4】已知M是由1，2，3三个元素构成的集合，则集合M可表示为（    ）

A．{x|x=1}        B．{x|x=2}        C．{1，2}        D．{1，2，3}

【答案】D

【解析】由于集合是由三个元素构成，

所以.故选：D

【变式4-1】设M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，那么集合M等于（  ）

A．{长江，黄河}        B．{长江，黑龙江}

C．{长江，珠江}        D．{长江，黄河，黑龙江，珠江}

【答案】D

【解析】∵M为我国四大河流长江、黄河、黑龙江、珠江组成的集合，

∴M ={长江，黄河，黑龙江，珠江}.故选：D.

【变式4-2】方程的所有实数根组成的集合为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】C

【解析】由，解得或，

所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C

【变式4-3】方程组的解集是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由可得：或.

所以方程组的解集是.故选：A

【变式4-4】（多选）下列集合中，可以表示为的是（    ）

A．方程的解集        B．最小的两个质数

C．大于1小于4的整数           D．不等式组的整数解

【答案】BCD

【解析】对于A，方程的解集为，不符合；

对于B，最小的两个质数构成的集合，符合；

对于C，大于1小于4的整数构成的集合，符合；

对于D，由，可得，即，故整数解集为，符合.

故选：BCD

题型五 用描述法表示集合

【例5】用描述法表示下列集合：

（1）比1大又比10小的实数组成的集合；

（2）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合；

（3）被3除余数等于1的正整数组成的集合．

【答案】（1）{xR|1<x<10}；（2）{(x，y)|x<0，且y>0}；（3）{x|x＝3n＋1，nN}.

【解析】（1）{xR|1<x<10}；

（2）集合的代表元素是点，用描述法可表示为{(x，y)|x<0，且y>0}；

（3）{x|x＝3n＋1，nN}．

【变式5-1】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ）

A．{ x |是小于18的正奇数}        B．

C．        D．

【答案】D

【解析】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确.故选：D

【变式5-2】集合{1，3，5，7，9，…}用描述法可表示为（    ）

A．{x|x=2n±1，n∈Z}        B．{x|x=2n+1，n∈Z}

C．{x|x=2n+1，n∈N*}       D．{x|x=2n+1，n∈N}

【答案】D

【解析】对于A：，故A错误；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D正确.

【变式5-3】用描述法表示被4除余3的自然数全体组成的集合______．

【答案】

【解析】被4除余3的自然数即为4的整数倍加3，

因此．

【变式5-4】用描述法表示下图中的阴影部分可以是________．

【答案】

【解析】可以用来表示图中阴影部分.