高中数学人教A版 (2019)必修 第一册3.2 函数的基本性质复习练习题

3.2.2 奇偶性

一、函数奇偶性的定义

1、奇函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数，图象关于原点对称

2、偶函数：如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数，图象关于轴对称。

偶函数的性质：，可避免讨论．

二、判断函数奇偶性的常用方法

1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.

2、验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立.

3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.

4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.

5、分段函数奇偶性的判断

通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.

三、定义法判断函数奇偶性

判断与的关系时，也可以使用如下结论：

如果或，则函数为偶函数；

如果或，则函数为奇函数．

题型一 函数奇偶性的判断

【例1】判断下列函数的奇偶性：

（1）．            （2）．

（3）．     （4）

【变式1-1】判断下列函数的奇偶性:

（1）;   （2）;

【变式1-2】已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(    )

A.奇函数       B.偶函数        C.既是奇函数又是偶函数        D.非奇非偶函数

【变式1-3】设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（   ）

A．是偶函数         B．是奇函数

C．是奇函数        D．是奇函数

题型二 利用奇偶性求值

【例2】已知函数，若，则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式2-1】已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（  ）

A．3        B．-3        C．-2        D．-1

【变式2-2】已知函数为奇函数，若，则___________．

【变式2-3】已知函数为奇函数，为偶函数，且，则（    ）

A．3        B．4        C．5        D．6

【变式2-4】已知，且，则（    ）

A．        B．        C．        D．

题型三 利用奇偶性求参数

【例3】若函数为偶函数，则_________.

【变式3-1】设为常数，函数.若为偶函数，则_________.

【变式3-2】设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.

【变式3-3】已知函数是奇函数，则_________.

题型四 利用奇偶性求解析式

【例4】已知是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为______.

【变式4-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，______．

【变式4-2】已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则（    ）

A．        B．2        C．1        D．3

【变式4-3】若函数是偶函数，函数是奇函数，且，求函数的解析式.

题型五 奇偶性与单调性结合

【例5】已知奇函数y＝f(x)的定义域为[－5,5]，且在区间[0,5]上的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合为________．

【变式5-1】已知函数f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，则满足的实数x的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-2】已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-3】函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-4】已知奇函数，是减函数，解不等式.

【变式5-5】设定义在上的函数和满足：①对任意的，和恒成立；②在上单调递增． 若，则的取值范围是（    ）

A．        B．        C．        D．

【变式5-6】函数是定义域为的奇函数，且对于任意的，都有成立.如果，则实数的取值集合是（    ）

A．        B．        C．        D．