高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.1 指数同步训练题

4.1 指数

一、n次方根的定义

1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且

2、个数：

（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；

（2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为；

②时，不存在

二、根式

1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

2、性质：（，且）

 a；

三、分数指数幂的意义

1、分数指数幂的意义

（1）正分数指数幂：规定：

（2）负分数指数幂：规定：

（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

2、分数指数幂的注意事项：

（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．

在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．

（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．

（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，

如有意义，但就没有意义．

四、无理数指数幂

一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．

有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．

【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：

①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．

（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．

五、实数指数幂的运算性质

①．

②．

③．

六、条件求值问题的解题思路：

1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；

2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；

3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。

题型一 根式的概念

【例1】下列等式中成立的个数是（    ）

①（且）；

②（为大于的奇数）；

③（为大于零的偶数）.

A．个        B．个        C．个        D．个

【答案】D

【解析】对于①，当且时，，①对；

对于②，当为大于的奇数时，，②对；

对于③，当为大于零的偶数时，，③对.

故选：D.

【变式1-1】等式成立的条件是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】等式成立的条件是，即.故选：D

【变式1-2】，则实数a的取值范围_________ 

【答案】

【解析】由题设得，

，

所以，所以，．

【变式1-3】（多选）下列等式中，不正确的是（    ）

A．        B．      C．        D．

【答案】ABC

【解析】对于A，， 故A不正确；

对于B， ，故B不正确；

对于C， 中，故C不正确；

对于D， ，故D正确．

故选：ABC

题型二 利用根式的性质化简求值

【例2】化简并求值.

【答案】3.

【解析】.

【变式2-1】求下列各式的值；

（1）；    （2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）= ．

（2）原式=

因为，所以，

当，即时，

当，即时，,

所以.

【变式2-2】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】 ，即  ，  ，

 .

故选：A .

【变式2-3】求下列各式的值：

（1）；    （2）；    （3）；    （4）．

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.

【解析】（1）.

（2）.

（3）.

（4）.

题型三 多重根式的化简

【例3】求值_______．

【答案】4

【解析】.

【变式3-1】化简________.

【答案】6

【解析】.

【变式3-2】化简（    ）

A．        B．        C．2        D．

【答案】D

【解析】，故选：D．

【变式3-3】化简=_________.

【答案】

【解析】=

因为，所以.所以原式

题型四 根式与分数指数幂的互化

【例4】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（    ）

A．       B．       C．       D．

【答案】B

【解析】对A：，故选项A错误；

对B：，故选项B正确；

对C：，不能化简为，故选项C错误；

对D：因为，所以，故选项D错误.

故选：B.

【变式4-1】化成分数指数幂为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】．故选：B.

【变式4-2】已知，则化为（    ）

A．        B．        C．m        D．1

【答案】C

【解析】，，故选：C．

【变式4-3】将下列各式用分数指数幂的形式表示：

（1）；   （2）；   （3）

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）原式.

（2）原式.

（3）原式.

题型五 利用指数幂的性质化简

【例5】已知，，且，则______．

【答案】

【解析】由题意，，

所以.

【变式5-1】计算：______．

【答案】

【解析】．

【变式5-2】化简（式中字母都是正数）：

（1）；    （2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）

（2）

【变式5-3】化简或求值：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）（且）.

【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）

【解析】（1）原式=.

（2）

=21.

（3）

.

（4）.

题型六 条件求值问题

【例6】已知，则______．

【答案】3

【解析】由，可得，，

．

【变式6-1】已知＝5，则的值为_________．

【答案】23

【解析】因为＝5，

所以.

【变式6-2】已知，求下列各式的值.

（1）；   （2）；   （3）.

【答案】（1）7；（2）47；（3）

【解析】（1）将两边平方，得，

所以．

（2）将两边平方，得，

所以．

（3）∵，，，

∴，

∴．

【变式6-3】若，且，则的值为（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】由题设，，即，

又，且，

所以，故选：A.

【变式6-4】已知，，且，则______．

【答案】

【解析】由题意，，

所以，

故答案为：.