人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.4 对数函数第1课时同步练习题

4.4　对数函数

第1课时　对数函数的概念、图象及性质

选题明细表

基础巩固

1.函数f(x)=ln(x+2)+的定义域为(　B　)

A.(2,+∞) B.(-2,2)

C.(-∞,-2) D.(-∞,2)

解析:由题意可知解得-2<x<2.故选B.

2.已知f(x)=a-x,g(x)=logax,且f(2)·g(2)>0,则函数f(x)与g(x)的图象是(　D　)

解析:因为f(2)·g(2)>0,所以a>1,所以f(x)=a-x与g(x)=logax在其定义域上分别是减函数与增函数.故选D.

3.已知函数f(x)=ax-1+logbx-1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1),则f(x)的图象过定点(　C　)

A.(0,1) B.(1,1)

C.(1,0) D.(0,0)

解析:当x=1时,f(1)=a0+logb1-1=1+0-1=0,所以f(x)的图象过定点(1,0).故选C.

4.(多选题)函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的图象过(　BCD　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

解析:作出函数f(x)=loga(x+2)(0<a<1)的大致图象如图所示,则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限.故选BCD.

5.已知f(x)为对数函数,f()=-2,则f()=　　　　. 

解析:设f(x)=logax(a>0,且a≠1),

则loga=-2,

所以=,即a=,所以f(x)=lox,

所以f()=lo =log2()2=log2=.

答案:

6.(2021·江苏启东期末)已知函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1,b∈R)的图象如图所示,则a=　　　　,b=　　　　. 

解析:由图象得解得

答案:　3

能力提升

7.已知函数y=lg(x2-3x+2)的定义域为A,y=lg(x-1)+lg(x-2)的定义域为B,则(　D　)

A.A∩B=    B.A=B

C.A⫋B       D.B⫋A

解析:由x2-3x+2>0,解得x<1或x>2,

所以A=(-∞,1)∪(2,+∞);由解得x>2,所以B=(2,+∞).故B⫋A.故选D.

8.已知等式log2m=log3n,m,n∈(0,+∞)成立,那么下列结论:①m=n;②n<m<1;③m<n<1;④1<n<m;⑤1<m<n.其中可能成立的是(　B　)

A.①②  B.①②⑤  C.③④    D.④⑤

解析:当m=n=1时,有log2m=log3n,故①可能成立;当m=,n=时,有log2m=log3n=-2,故②可能成立;当m=4,n=9时,有log2m=log3n=2,此时1<m<n,故⑤可能成立.可能成立的是①②⑤.故选B.

9.如图,四边形OABC是面积为8的平行四边形,OC⊥AC,AC与BO交于点E.某对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象经过点E和点B,则a=

　　　　. 

解析:设点E(b,c),则C(b,0),A(b,2c),B(2b,2c),

则解得b=c=2,a=.

答案:

10.已知f(x)=|log3x|.

(1)画出函数f(x)的图象;

(2)讨论关于x的方程|log3x|=a(a∈R)的解的个数.

解:(1)f(x)=函数f(x)的图象如图所示.

(2)设函数y=|log3x|和y=a,

当a<0时,两图象无交点,原方程解的个数为0个.

当a=0时,两图象只有1个交点,即原方程只有1个解.

当a>0时,两图象有2个交点,即原方程有2个解.

11.已知函数f(x)=log2[ax2+(a-1)x+].

(1)若定义域为R,求实数a的取值范围;

(2)若值域为R,求实数a的取值范围.

解:(1)要使f(x)的定义域为R,则对任意实数x都有t=ax2+(a-1)x+

>0恒成立.

当a=0时,不合题意;

当a≠0时,由二次函数图象(图略)可知

解得<a<.

故所求实数a的取值范围为(,).

(2)要使f(x)的值域为R,则有t=ax2+(a-1)x+的值域必须包含(0,

+∞).当a=0时,显然成立;当a≠0时,由二次函数图象(图略)可知,其图象必须与x轴相交,且开口向上,

所以

解得0<a≤或a≥.

故所求a的取值范围为[0,]∪[,+∞).

应用创新

12.已知函数f(x)=|log2x|,正实数m,n满足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在区间[m2,n]上的最大值为2,则n+m=　　　　. 

解析:根据题意并结合函数f(x)=|log2x|的图象知,0<m<1<n,所以0<m2<m<1.根据函数图象易知,当x=m2时函数f(x)取得最大值,所以f(m2)=|log2m2|=2.又0<m<1,解得m=.再结合f(m)=f(n)求得n=2,所以n+m=.

答案: