高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数第3课时课时作业

第3课时　不同函数增长的差异

选题明细表

基础巩固

1.以下四种说法中,正确的是(　D　)

A.幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B.对任意的x>0,xa>logax

C.对任意的x>0,ax>logax

D.不一定存在x0,当x>x0时,总有ax>xa>logax

解析:对于A,幂函数与一次函数的增长速度分别受幂指数及一次项系数的影响,幂指数与一次项系数不确定,增长速度不能比较;对于B,C,显然不成立;对于D,当a>1时,一定存在x0,使得当x>x0时,总有ax>xa>logax,但若去掉限制条件“a>1”,则不一定存在满足条件的x0.故选D.

2.(多选题)当a>1时,下列结论中正确的是(　AD　)

A.指数函数y=ax,当a越大时,其函数值的增长越快

B.指数函数y=ax,当a越小时,其函数值的增长越快

C.对数函数y=logax,当a越大时,其函数值的增长越快

D.对数函数y=logax,当a越小时,其函数值的增长越快

解析:结合指数函数及对数函数的图象可知A,D正确.故选AD.

3.若x∈(0,1),则下列结论正确的是(　A　)

A.2x>>lg x   B.2x>lg x>

C.>2x>lg x   D.lg x>>2x

解析:如图所示,结合y=2x,y=及y=lg x的图象易知,当x∈(0,1)时,2x>>lg x.故选A.

4.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,之后增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用(　D　)

A.一次函数    B.二次函数

C.指数型函数 D.对数型函数

解析:根据基本初等函数的图象与性质可知,一次函数增长的速度不变,不满足题意;要满足调整后初期利润增长迅速,如果是二次函数,则必须开口向上,而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快,没有慢下来的可能,不符合要求;要满足调整后初期利润增长迅速,如果是指数函数,则底数必是大于1的数,而此时指数函数增长的速度也是越来越快的,也不满足要求;对于对数函数,当底数大于1时,对数函数增长的速度先快后慢,符合要求.故选D.

5.三个变量y1,y2,y3随x的变化情况如表:

三个变量y1,y2,y3中,变量　　　   　随x呈对数型函数变化,变量

　　　　随x呈指数型函数变化,变量　　　　随x呈幂函数变化. 

解析:观察题中表格,可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,整体来说,变量y1的增长速度居中,呈幂函数变化;变量y2的增长速度最快,呈指数型函数变化;变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化.

答案:y3　y2　y1

6.已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y=a·0.5x+

b,现已知该厂今年1月,2月生产该产品分别为1万件,1.5万件.则此厂3月份该产品的产量为　　　　万件. 

解析:因为y=a·0.5x+b,且当x=1时,y=1,当x=2时,y=1.5,则有解得所以y=-2×0.5x+2.当x=3时,

y=-2×0.125+2=1.75(万件).

答案:1.75

能力提升

7.某工厂6年来生产某种产品的情况是:前三年年产量的增长速度越来越快,后三年年产量的增长速度保持不变,则可以用来描述该厂前t年这种产品的年产量c与时间t的函数关系的是(　A　)

解析:注意以下几种情形:图①表示不再增长,图②表示增速恒定不变,图③表示增长速度越来越快,图④表示增长速度逐渐变慢.故选A.

8.(多选题)甲、乙、丙、丁四个物体同时从同一点出发向同一个方向运动,其路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),则下列结论中正确的是(　CD　)

A.当x>1时,甲走在最前面

B.当x>1时,乙走在最前面

C.当0<x<1时,丁走在最前面,当x>1时,丁走在最后面

D.丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面

解析:路程fi(x)(i=1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)=2x-1,f2(x)=x3,f3(x)=x,f4(x)=log2(x+1),它们相应的函数模型分别是指数型函数、幂函数、一次函数和对数型函数模型,

对于A,当x=2时,f1(2)=3,f2(2)=8,所以该结论不正确;

对于B,因为指数型函数的增长速度大于幂函数的增长速度,所以x>1时,甲总会超过乙的,所以该结论不正确;

对于C,根据四种函数的变化特点,对数型函数的变化是先快后慢,

当x=1时,甲、乙、丙、丁四个物体重合,从而可知,当0<x<1时,丁走在最前面,

当x>1时,丁走在最后面,所以该结论正确;

对于D,结合对数型和指数型函数的图象变化情况,可知丙不可能走在最前面,也不可能走在最后面,所以该结论正确.故选CD.

9.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(单位:月)的近似函数关系:y=at(t≥0,a>0,且

a≠1)的图象.有以下叙述:

①第4个月时,剩留量就会低于;

②每月减少的有害物质量都相等;

③若剩留量为,,时,所经过的时间分别是t1,t2,t3,则t1+t2=t3.

其中所有叙述正确的序号是　　　　. 

解析:根据题意,函数的图象经过点(2,),故函数为y=() t,

令t=4时,y=<,故①正确;

令t=1时,y=,减少,当t=2时,y=,减少,每月减少的有害物质质量不相等,故②不正确;

分别令y=,,,解得t1=,t2=,t3=,t1+t2=t3,故③正确.

答案:①③

10.某纪念章从2021年10月1日起开始上市,通过市场调查,得到该纪念章每1枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据

如表:

(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由:①y=ax+b;②y=

ax2+bx+c;③y=+b;

(2)利用你选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格.

解:(1)因为随着时间x的增加,y的值先减后增,而所给的三个函数中①y=ax+b和③y=+b显然都是单调函数,不满足题意,

所以选择②y=ax2+bx+c.

(2)把点(4,90),(10,51),(36,90),代入y=ax2+bx+c中,得

解得a=,b=-10,c=126.

所以y=x2-10x+126=(x-20)2+26,

当x=20时,y有最小值26.

故当纪念章上市20天时,市场价格最低,最低为26元.

11.某公司为了实现2023年1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%.

(1)请指出符合公司要求的模型应该满足的条件;

(2)现有三个奖励模型:y=1.003x,y=lg x+2,y=,问:其中是否有模型能完全符合公司的要求?说明理由.(参考数据:1.003600≈6)

解:(1)由题意,符合公司要求的模型只需满足:当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数.②函数的最大值不超过5.③y≤x·25%.

(2)对于y=1.003x,易知满足①.但当x>600时,y>6,不满足公司的

要求.

对于y=lg x+2,易知满足①,当x∈[10,1 000]时,y≤lg 1 000+2=5,所以满足②,

但lg 10+2=3>,所以不满足③,不满足公司的要求.

对于y=,易知满足①,当x∈[10,1 000]时,y≤=5,所以满

足②,

又x∈[10,1 000]时,y=≤=≤,由此可知满足③.

综上所述,只有奖励模型y=能完全符合公司的要求.

应用创新

12.(多选题)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示.横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法正确的是(　ABC　)

A.投资3天以内(含3天),采用方案一

B.投资4天,不采用方案三

C.投资6天,采用方案一

D.投资12天,采用方案二

解析:由题图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最高,A正确;投资4天,方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+

20+30+40=100(元),都高于方案三的回报,B正确;投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=

210(元),都高于方案三的回报,C正确;投资12天,明显方案三的回报最高,所以此时采用方案三,D错误.故选ABC.