高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数习题

课时分层作业(二十九)　对数函数的概念、图象及性质

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．函数y＝的定义域为(　　)

A．(－∞，2)　　　 B．(2，＋∞)

C．(2,3)∪(3，＋∞)   D．(2,4)∪(4，＋∞)

C　[要使函数有意义，则解得x＞2且x≠3，故选C.]

2．若函数y＝f(x)是函数y＝3x的反函数，则f的值为(　　)

A．－log23   B．－log32

C.   D.

B　[由题意可知f(x)＝log3x，

所以f＝log3＝－log32，

故选B.]

3．如图，若C1，C2分别为函数y＝logax和y＝logbx的图象，则(　　)

A．0<a<b<1

B．0<b<a<1

C．a>b>1

D．b>a>1

B　[作直线y＝1，则直线与C1，C2的交点的横坐标分别为a，b，易知0<b<a<1.]

4．函数y＝log2x的定义域是[1,64)，则值域是(　　)

A．R   B．[0，＋∞)

C．[0,6)   D．[0,64)

C　[由函数y＝log2x的图象可知y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，因此，当x∈[1,64)时，y∈[0,6)．]

5．函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象必不过(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

A　[∵f(x)＝loga(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.

]

二、填空题

6．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，则a＝________.

－7　[由f(3)＝1得log2(32＋a)＝1，所以9＋a＝2，解得a＝－7.]

7．已知函数y＝loga(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．

(4，－1)　[y＝logax的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.]

8．已知对数函数f(x)的图象过点(8，－3)，则f(2)＝________.

－　[设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，

则－3＝loga8，∴a＝，

∴f(x)＝logx，f(2)＝log(2)＝－log2(2)＝－.]

三、解答题

9．若函数y＝loga(x＋a)(a>0且a≠1)的图象过点(－1，0)．

(1)求a的值；

(2)求函数的定义域．

[解]　(1)将(－1,0)代入y＝loga(x＋a)(a>0，a≠1)中，有0＝loga(－1＋a)，则－1＋a＝1，所以a＝2.

(2)由(1)知y＝log2(x＋2)，由x＋2>0，解得x>－2，

所以函数的定义域为{x|x>－2}．

10．若函数f(x)为定义在R上的奇函数，且x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lg(x＋1)，求f(x)的表达式，并画出大致图象．

[解]　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0.

又当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)，

∴f(－x)＝lg(1－x)．

又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－lg(1－x)，

∴f(x)的解析式为f(x)＝

∴f(x)的大致图象如图所示．

[等级过关练]

1．函数y＝ln(1－x)的定义域为(　　)

A．(0,1)　　　　 B．[0,1)

C．(0,1]   D．[0,1]

B　[由得0≤x<1，故选B.]

2．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是(　　)

A　　　B　 　　　C　   　D

B　[由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.

又因为函数y＝－logbx与函数y＝logbx的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．]

3．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.

－1或　[当x>0时，f(x)＝log2x，

由f(a)＝得log2a＝，即a＝.

当x≤0时，f(x)＝2x，由f(a)＝得2a＝，a＝－1.

综上a＝－1或.]

4．设函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，若f(x1x2…x2 019)＝8，则f(x)＋f(x)＋…＋f(x)的值等于________．

16　[∵f(x)＋f(x)＋f(x)＋…＋f(x)

＝logax＋logax＋logax＋…＋logax

＝loga(x1x2x3…x2 019)2

＝2loga(x1x2x3…x2 019)＝2×8＝16.]

5．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　由x2－logmx<0，得x2<logmx，在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示．

要使x2<logmx在内恒成立，只要y＝logmx在内的图象在y＝x2的上方，于是0<m<1.

∵x＝时，y＝x2＝，∴只要x＝时，y＝logm≥＝logmm，∴≤m，即≤m.

又0<m<1，∴≤m<1.

即实数m的取值范围是.