高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）课后作业题

4.5　函数的应用(二)

4.5.1　函数的零点与方程的解

选题明细表

基础巩固

1.函数y=1+的零点是(　B　)

A.(-1,0) B.x=-1

C.(0,1) D.x=0

解析:令y=1+=0,解得x=-1,所以函数y=1+的零点是x=-1.故选B.

2.函数f(x)=ex-2-2的零点所在的区间是(　C　)

A.(0,1) B.(1,2)

C.(2,3) D.(3,4)

解析:因为f(x)为连续函数,f(2)=1-2=-1<0,f(3)=e-2>0,f(2)f(3)<0,所以f(x)零点所在区间为(2,3).故选C.

3.已知函数f(x)的图象是连续的,根据如下对应值表:

函数在区间[1,6]上的零点至少有(　C　)

A.5个  B.4个  C.3个  D.2个

解析:函数f(x)的图象是连续的,

f(2)f(3)=-63<0,f(3)f(4)=-77<0,f(4)f(5)=-55<0,所以f(x)在(2,3),(3,4),(4,5)之间一定有零点,即函数在区间[1,6]上的零点至少有3个.故选C.

4.若函数y=ax+b(a≠0)经过点(2,0),则函数y=bx2-ax的零点是(　C　)

A.0,2    B.0,

C.0,-    D.2,-

解析:因为函数y=ax+b经过点(2,0),

所以2a+b=0,所以b=-2a,

所以y=bx2-ax=-2ax2-ax,

令-2ax2-ax=0,得x1=0,x2=-,

所以函数y=bx2-ax的零点是0和-.故选C.

5.设x0是方程ln x+x=4的根,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=　　　　. 

解析:令f(x)=ln x+x-4,且f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(2)=ln 2+2-4<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(x)在(2,3)内有解,所以k=2.

答案:2

6.(2021·山东临沂期中)函数f(x)=x+2x-m在(-1,1)上存在零点,则m的取值范围是　　　　. 

解析:因为函数f(x)=x+2x-m是连续增函数,

在(-1,1)上存在零点,所以f(-1)·f(1)<0,

即(-1+-m)(1+2-m)<0,可得-<m<3,即m∈(-,3).

答案:( -,3)

能力提升

7.(多选题)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法中错误的有(　ABD　)

A.若f(a)f(b)>0,则不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0

B.若f(a)f(b)<0,则存在且只存在一个实数c∈(a,b),使得f(c)=0

C.若f(a)f(b)>0,则有可能存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0

D.若f(a)f(b)<0,则有可能不存在实数c∈(a,b),使得f(c)=0

解析:对函数f(x)=x2,f(-1)f(1)>0,但f(0)=0,故A错误;对于函数f(x)=x3-x,f(-2)f(2)<0,但f(0)=f(-1)=f(1)=0,故B错误;函数f(x)=x2满足C,故C正确;由函数零点存在定理知D错误.故选ABD.

8.函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(　B　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数⇔方程|log0.5x|==() x的根的个数⇔函数y=|log0.5x|与y=() x的图象的交点个数,作出两个函数的图象如图所示,由图可知两个函数图象有两个交点.故选B.

9.已知函数f(x)=ax-a-1,g(x)=x2-ax+1(a为实数).若f(x)在区间(2,3)内有零点,则a的取值范围是　　　　　　;若关于x的方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,则a的取值范围是　　　　. 

解析:f(x)在区间(2,3)内有零点,当a=0时,不满足题意;当a≠0时,f(x)在R上为单调函数.

因为f(x)在区间(2,3)内有零点,

所以由零点存在定理有f(2)f(3)<0,

即(2a-a-1)(3a-a-1)<0,解得<a<1.

综上,a的取值范围为(,1);

方程f(x)=g(x)有两个大于1的相异实根,即方程x2-2ax+a+2=0有两个大于1的相异实根.

设 h(x)=x2-2ax+a+2,

则函数h(x)的对称轴x=a>1,

且Δ=4a2-4(a+2)>0,且h(1)=1-2a+a+2>0,

解得2<a<3,

故a的取值范围为(2,3).

答案:(,1)　(2,3)

10.已知函数f(x)=ax2-2x+8.

(1)当a=-3时,求不等式f(x)<0的解集;

(2)若函数f(x)在(0,3]上有零点,求实数a的取值范围.

解:(1)当a=-3时,

不等式f(x)<0即为-3x2-2x+8<0,

得3x2+2x-8>0,解得x<-2或x>,

所以不等式f(x)<0的解集为(-∞,-2)∪(,+∞).

(2)函数f(x)=ax2-2x+8在(0,3]上有零点,

即方程ax2-2x+8=0在(0,3]上有实根,

等价于求a==-+=-8(-)2+在(0,3]上的值域.

令=t∈[,+∞),

则g(t)=-8(t-)2+.

因为g(t)在[,+∞)上单调递减,

所以g(t)max=g()=-,得a≤-.

所以实数a的取值范围是(-∞,-].

11.已知函数f(x)=

(1)画出函数的图象,写出函数的单调区间;

(2)求函数g(x)=f(x)-的零点;

(3)如果方程f(x)=m有3个解,求实数m的范围.

解:(1)函数f(x)=的图象如图所示,

由图象可得,f(x)的单调递增区间为[-3,0),[1,8],单调递减区间为[0,1).

(2)函数g(x)=f(x)-的零点即方程f(x)=的解,

当x∈[-3,0)时,f(x)=2x+2=,

解得x=-1;

当x∈[0,1)时,f(x)=-3x+3=,

解得x=;

当x∈[1,8]时,f(x)=log2x=,解得x=4,

所以函数g(x)的零点为-1,,4.

(3)因为方程f(x)=m有3个解,

则函数y=f(x)的图象与y=m的图象有3个不同的交点,当x=-3时,f(-3)=2-3+2=,

由图象可得,实数m的取值范围为[,3).

应用创新

12.(2022·山东青岛高一期中)已知函数f(x)=则方程f2(x)-bf(x)=0,b∈(0,1)的根的个数是(　B　)

A.2 B.3 C.4 D.5

解析:f2(x)-bf(x)=0⇒f(x)[f(x)-b]=0,方程的根有两种情况f(x)=0和f(x)=b.

当x=2时,f(x)=0.

可令h(x)=b,画出如图所示的分段函数图象,

要求f(x)=b解的个数,等价于判断f(x)与h(x)交点的个数,由图可知交点个数有2个.综上所述,f2(x)-bf(x)=0的根的个数为3.故选B.