人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数精品学案，共9页。学案主要包含了指数式与对数式的互化，利用对数式与指数式的关系求值，利用对数性质及对数恒等式求值等内容，欢迎下载使用。

4．3.1 对数的概念


学习目标 1.了解对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．








知识点一 对数的有关概念


对数的概念：


一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．


常用对数与自然对数：


通常将以10为底的对数叫做常用对数，以e(e＝2.718 28…)为底的对数称为自然对数，lg10N可简记为lg N，lgeN简记为ln N.


知识点二 对数与指数的关系


一般地，有对数与指数的关系：


若a>0，且a≠1，则ax＝N⇔lgaN＝x.


对数恒等式：＝N；lgaax＝x(a>0，且a≠1)．


知识点三 对数的性质


1．1的对数为零．


2．底的对数为1.


3．零和负数没有对数．





1．若3x＝2，则x＝lg32.( √ )


2．因为a1＝a(a>0且a≠1)，所以lgaa＝1.( √ )


3．lgaN>0(a>0且a≠1，N>0)．( × )


4．若ln N＝eq \f(1,2)，则N＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))e.( × )





一、指数式与对数式的互化


例1 将下列指数式与对数式互化：


(1)2－2＝eq \f(1,4)；(2)102＝100；


(3)ea＝16；(4)＝eq \f(1,4)；


(5)lg39＝2；(6)lgxy＝z(x>0且x≠1，y>0)．


解 (1)lg2eq \f(1,4)＝－2.


(2)lg10100＝2，即lg 100＝2.


(3)lge16＝a，即ln 16＝a.


(4)lg64eq \f(1,4)＝－eq \f(1,3).


(5)32＝9.


(6)xz＝y.


反思感悟 指数式与对数式互化的思路


(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．


(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．


跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：


(1)lg216＝4；(2)＝－3；


(3)43＝64；(4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16.


解 (1)由lg216＝4，可得24＝16.


(2)由＝－3，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－3＝27.


(3)由43＝64，可得lg464＝3.


(4)由eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))－2＝16，可得＝－2.


二、利用对数式与指数式的关系求值


例2 求下列各式中x的值：


(1)lg64x＝－eq \f(2,3)；(2)lgx8＝6；(3)lg 100＝x.


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


解 (1)＝4－2＝eq \f(1,16).


(2)因为x6＝8，所以


(3)10x＝100＝102，于是x＝2.


反思感悟 要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．


跟踪训练2 (1)计算lg927；的值；


(2)求下列各式中x的值：


①lg27x＝－eq \f(2,3)；②lgx16＝－4.


解 (1)设x＝lg927，则9x＝27,32x＝33，


∴2x＝3，x＝eq \f(3,2).


设，则＝81,＝34，∴eq \f(x,4)＝4，x＝16.


(2)①∵lg27x＝－eq \f(2,3)，


∴＝3－2＝eq \f(1,9).


②∵lgx16＝－4，


∴x－4＝16，即x4＝eq \f(1,16)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))4，


∴x＝eq \f(1,2).


三、利用对数性质及对数恒等式求值


例3 求下列各式中x的值：


(1)lg2(lg5x)＝0；(2)lg3(lg x)＝1；(3)


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


解 (1)∵lg2(lg5x)＝0，∴lg5x＝20＝1，∴x＝51＝5.


(2)∵lg3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.


(3)


反思感悟 (1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．lgaN＝0⇒N＝1；lgaN＝1⇒N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．


(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：


跟踪训练3 (1)设，则x＝ .


答案 13


(2)若lg2(lg3x)＝lg3(lg4y)＝lg4(lg2z)＝0，则x＋y＋z的值为( )


A．9 B．8 C．7 D．6


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


答案 A


解析 ∵lg2(lg3x)＝0，∴lg3x＝1.


∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.





1．将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))－2＝9写成对数式，正确的是( )


A．lg9eq \f(1,3)＝－2 B．＝－2


C．＝9 D．lg9(－2)＝eq \f(1,3)


答案 B


解析 根据对数的定义，得＝－2，故选B.


2．若lgax＝1，则( )


A．x＝1 B．a＝1 C．x＝a D．x＝10


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


答案 C


3．方程＝eq \f(1,4)的解是( )


A．x＝eq \f(1,9) B．x＝eq \f(\r(3),3) C．x＝eq \r(3) D．x＝9


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式与指数式的互化


答案 A


解析 ∵＝2－2，∴lg3x＝－2，∴x＝3－2＝eq \f(1,9).


4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )


A．e0＝1与ln 1＝0


B．＝eq \f(1,2)与lg8eq \f(1,2)＝－eq \f(1,3)


C．lg39＝2与＝3


D．lg77＝1与71＝7


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式与指数式的互化


答案 C


5．已知lgx16＝2，则x＝ .


答案 4


解析 lgx16＝2化成指数式为x2＝16，所以x＝±4，


又因为x>0且x≠1，所以x＝4.





1．知识清单：


(1)对数的概念．


(2)自然对数、常用对数．


(3)指数式与对数式的互化．


(4)对数的性质．


2．方法归纳：


(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化．


(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值．


3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围．








1．有下列说法：


①零和负数没有对数；


②任何一个指数式都可以化成对数式；


③以10为底的对数叫做常用对数；


④以e为底的对数叫做自然对数．


其中正确说法的个数为( )


A．1 B．2 C．3 D．4


考点 对数的概念


题点 对数的概念


答案 C


解析 ①③④正确，②不正确，只有a>0，且a≠1时，ax＝N才能化为对数式．


2．已知－ln e2＝x，则x等于( )


A．－1 B．－2 C．1 D．2


答案 B


解析 因为－ln e2＝x，


所以ln e2＝－x，e2＝e－x，x＝－2.


3．若lgaeq \r(5,b)＝c，则下列等式正确的是( )


A．b5＝ac B．b＝a5c C．b＝5ac D．b＝c5a


答案 B


解析 由lgaeq \r(5,b)＝c，得ac＝eq \r(5,b)，


所以b＝a5c.


4．下列四个等式：


①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若lg x＝10，则x＝10；④若ln x＝e，则x＝e2.


其中正确的是( )


A．①③ B．②④ C．①② D．③④


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


答案 C


解析 ①lg(lg 10)＝lg 1＝0；②lg(ln e)＝lg 1＝0；


③若lg x＝10，则x＝1010；④若ln x＝e，则x＝ee.


故只有①②正确．


5．若lga3＝m，lga5＝n，则a2m＋n的值是( )


A．15 B．75 C．45 D．225


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


答案 C


解析 由lga3＝m，得am＝3，由lga5＝n，得an＝5，


∴a2m＋n＝(am)2·an＝32×5＝45.


6．＝ .


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


答案 8


解析 设＝t，则(eq \r(3))t＝81,＝34，eq \f(t,2)＝4，t＝8.


7．已知lg7[lg3(lg2x)]＝0，那么＝ .


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


答案 eq \f(\r(2),4)


解析 ∵lg7[lg3(lg2x)]＝0，∴lg3(lg2x)＝1，


∴lg2x＝3，∴23＝x，


∴＝＝eq \f(1,\r(8))＝eq \f(1,2\r(2))＝eq \f(\r(2),4).


8．若对数lg(x－1)(2x－3)有意义，则x的取值范围是 ．


答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，2))∪(2，＋∞)


解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,x－1≠1，,2x－3>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,x≠2，,x>\f(3,2)，))


得x>eq \f(3,2)且x≠2.


9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．


(1)53＝125；


(2)4－2＝eq \f(1,16)；


(3)＝－3；


(4)lg3eq \f(1,27)＝－3.


解 (1)∵53＝125，∴lg5125＝3.


(2)∵4－2＝eq \f(1,16)，∴lg4eq \f(1,16)＝－2.


(3)∵＝－3，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－3＝8.


(4)∵lg3eq \f(1,27)＝－3，∴3－3＝eq \f(1,27).


10．(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中x的值．


①lg2x＝－eq \f(2,5)；②lgx3＝－eq \f(1,3).


(2)已知6a＝8，试用a表示下列各式．


①lg68；②lg62；③lg26.


考点 对数式与指数式的互化


题点 对数式化为指数式


解 (1)①因为lg2x＝－eq \f(2,5)，所以x＝＝eq \f(\r(5,8),2).


②因为lgx3＝－eq \f(1,3)，所以＝3，所以x＝3－3＝eq \f(1,27).


(2)①lg68＝a.


②由6a＝8得6a＝23，即＝2，所以lg62＝eq \f(a,3).


③由＝2得＝6，所以lg26＝eq \f(3,a).





11．方程lg(x2－1)＝lg(2x＋2)的根为( )


A．－3 B．3


C．－1或3 D．1或－3


答案 B


解析 由lg(x2－1)＝lg(2x＋2)，


得x2－1＝2x＋2，即x2－2x－3＝0，


解得x＝－1或x＝3.


经检验x＝－1是增根，所以原方程的根为x＝3.


12.的值为( )


A．6 B.eq \f(7,2) C．8 D.eq \f(3,7)


答案 C


解析 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1·＝2×4＝8.


13．若lg(1－x)(1＋x)2＝1，则x＝ .


答案 －3


解析 由lg(1－x)(1＋x)2＝1，得(1＋x)2＝1－x，


∴x2＋3x＝0，


∴x＝0或x＝－3.


注意到eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x>0，,1－x≠1，))∴x＝－3.


14．若x满足(lg2x)2－2lg2x－3＝0，则x＝ .


答案 8或eq \f(1,2)


解析 设t＝lg2x，则原方程可化为t2－2t－3＝0，


解得t＝3或t＝－1，


所以lg2x＝3或lg2x＝－1，


所以x＝23＝8或x＝2－1＝eq \f(1,2).





15．若a>0，＝eq \f(4,9)，则等于( )


A．2 B．3 C．4 D．5


答案 B


解析 因为＝eq \f(4,9)，a>0，


所以a＝＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))3，


设＝x，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))x＝a.


所以x＝3.


16．若＝m，＝m＋2，求eq \f(x2,y)的值．


解 因为＝m，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m.


因为＝m＋2，


所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4.


所以eq \f(x2,y)＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－4＝16.