高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数随堂练习题

4.3　对数

4.3.1　对数的概念

1．对数

(1)指数式与对数式的互化及有关概念：

(2)底数a的范围是a>0，且a≠1.

2．常用对数与自然对数

3．对数的基本性质

(1)负数和零没有对数．

(2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a>0，且a≠1)．

思考：为什么零和负数没有对数？

提示：由对数的定义：ax＝N(a>0且a≠1)，则总有N>0，所以转化为对数式x＝logaN时，不存在N≤0的情况．

1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有(　　)

A．log2M＝a　　　 B．logaM＝2

C．log22＝M   D．log2a＝M

B　[∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.]

2．若log3x＝3，则x＝(　　)

A．1   B．3

C．9   D．27

D　[∵log3x＝3，∴x＝33＝27.]

3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是(　　)

A．a>5或a<0

B．0<a<1或1<a<5

C．0<a<1

D．1<a<5

B　[由对数的定义可知

解得0<a<5且a≠1，故选B.]

4．ln 1＝________，lg 10＝________.

0　1　[∵loga1＝0，∴ln 1＝0，又logaa＝1，∴lg 10＝1.]

指数式与对数式的互化

【例1】　将下列对数形式化为指数形式或将指数形式化为对数形式：

(1)2－7＝；(2)log32＝－5；

(3)lg 1 000＝3；(4)ln x＝2.

[解]　(1)由2－7＝，可得log2＝－7.

(2)由log 32＝－5，可得－5＝32.

(3)由lg 1 000＝3，可得103＝1 000.

(4)由ln x＝2，可得e2＝x.

指数式与对数式互化的方法

1将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数不变，写出对数式；

2将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：

(1)3－2＝；　　　(2)－2＝16；

(3)log27＝－3;  (4)log64＝－6.

[解]　(1)log3＝－2；(2)log 16＝－2；

(3)－3＝27；(4)()－6＝64.

利用指数式与对数式的关系求值

【例2】　求下列各式中的x的值：

(1)log64x＝－；  (2)logx 8＝6；

(3)lg 100＝x;  (4)－ln e2＝x.

[解]　(1)x＝(64)＝(43)＝4－2＝.

(2)x6＝8，所以x＝(x6)＝8＝(23)＝2＝.

(3)10x＝100＝102，于是x＝2.

(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2，

所以x＝－2.

求对数式logaNa>0，且a≠1，N>0的值的步骤

1设logaN＝m；

2将logaN＝m写成指数式am＝N；

3将N写成以a为底的指数幂N＝ab，则m＝b，即logaN＝b.

2．计算：(1)log9 27；(2)log 81；(3)log625.

[解]　(1)设x＝log9 27，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.

(2)设x＝log81，则()x＝81,3＝34，∴x＝16.

(3)令x＝log625，∴()x＝625,5＝54，∴x＝3.

应用对数的基本性质求值

[探究问题]

1．你能推出对数恒等式alogaN＝N(a>0且a≠1，N >0)吗？

提示：因为ax＝N，所以x＝logaN，代入ax＝N可得alogaN＝N.

2．若方程logaf(x)＝0，则f(x)等于多少？若方程logaf(x)＝1呢？(其中a>0且a≠1)

提示：若logaf(x)＝0，则f(x)＝1；若logaf(x)＝1，则f(x)＝a.

【例3】　设5log5(2x－1)＝25，则x的值等于(　　)

A．10　　　　　 B．13

C．100   D．±100

(2)若log3(lg x)＝0，则x的值等于________．

[思路点拨]　(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；

(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．

(1)B　(2)10　[(1)由5log5(2x－1)＝25得2x－1＝25，所以x＝13，故选B.

(2)由log3(lg x)＝0得lg x＝1，∴x＝10.]

1．若本例(2)的条件改为“ln(log3x)＝1”，则x的值为________．

3e　[由ln(log3x)＝1得log3x＝e，∴x＝3e.]

2．在本例(2)条件不变的前提下，计算x－的值．

[解]　∵x＝10，∴x－＝10－＝.

1．利用对数性质求解的两类问题的解法

(1)求多重对数式的值解题方法是由内到外，如求loga(logbc)的值，先求logbc的值，再求loga(logbc)的值．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．

2．性质alogaN＝N与logaab＝b的作用

(1)alogaN＝N的作用在于能把任意一个正实数转化为以a为底的指数形式．

(2)logaab＝b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数．

1．对数的概念：ab＝N⇔b＝logaN(a>0且a≠1)是解决指数、对数问题的有利工具．

2．指数式、对数式的互化反映了数学上的等价转化思想，在涉及到对数式求值问题时，常转化为指数幂的运算问题．

3．对数恒等式alogaN＝N，其成立的条件是a>0，a≠1，N>0.

1．思考辨析

(1)logaN是loga与N的乘积．(　　)

(2)(－2)3＝－8可化为log(－2)(－8)＝3.(　　)

(3)对数运算的实质是求幂指数．(　　)

(4)在b＝log3(m－1)中，实数m的取值范围是(1，＋∞)．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是(　　)

A．100＝1与lg 1＝0

B．27＝与log27＝－

C．log39＝2与9＝3

D．log55＝1与51＝5

C　[C不正确，由log39＝2可得32＝9.]

3．若log2(logx9)＝1，则x＝________.

3　[由log2(logx9)＝1可知logx9＝2，即x2＝9，∴x＝3(x＝－3舍去)．]

4．求下列各式中的x值：

(1)logx27＝；　　(2)log2 x＝－；

(3)x＝log27；  (4)x＝log16.

[解]　(1)由logx27＝，可得x＝27，

∴x＝27＝(33)＝32＝9.

(2)由log2x＝－，可得x＝2，

∴x＝＝＝.

(3)由x＝log27，可得27x＝，

∴33x＝3－2，∴x＝－.

(4)由x＝log16，可得x＝16，

∴2－x＝24，∴x＝－4.