高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优秀学案

课时4.4.1  对数函数的概念

01考点梳理

1．对数函数的概念

函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中       是自变量，函数的定义域是_____________．

温馨提示：(1)对数函数y＝logax是由指数函数y＝ax反解后将x、y互换得到的．

(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.

2．对数函数的图象及性质

注意：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．

3．当底数不同时对数函数图象的变化规律

作直线y＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.

答案：x  (0，＋∞)

02考点解读

题型一  对数函数的定义域和值域 

1．函数的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】函数的定义域为，

又，

所以函数是奇函数，故排除A，C；

又因为，故排除D.

故选：B

题型二  对数函数的图像问题 

2．如果函数的反函数是增函数，那么函数的图象大致是（    ）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】因为函数的反函数是增函数，可得函数为增函数，所以，

所以函数为减函数，可排除B、D；

又由当时，，排除A.

故选：C.

题型三  对数函数的单调性 

3．函数的单调递增区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，

而对数函数在上是减函数，在上是增函数，

所以函数单调递增区间为．

故选：C

题型四  对数函数的最值及参数问题 

4．已知，，若，，使得，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若，，使得，则.

由于函数在区间上为增函数，则，

由于函数在区间上为减函数，则，

所以，，解得.

故选：D.

03题组训练

5．在b＝log3a－1(3－2a)中，实数a的取值范围是（    ）

A．∪B．∪ C．D．

【答案】B

【解析】要使式子b＝log3a－1(3－2a)有意义，

则

解得 或 .

故选：B．

6．已知函数在（0，2）上为减函数，则的取值范围是（    ）

A．（1，3] B．（1，3） C．（0，1） D．[3，+∞）

【答案】A

【解析】由函数在（0，2）上为减函数，

可得函数在（0，2）上大于零，且为减函数，，

故有，解得

故选：A．

7．若函数的定义域为，则（    ）

A．1 B．－1

C．2 D．无法确定

【答案】B

【解析】函数的定义域为，则的解集为，

即，且的根，故.

故选：B.

8．下列不等号连接不正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于选项A：因为在单调递减，，所以，故选项A正确；

对于选项B：，，即，，

所以，故选项B正确；

对于选项C：，

，

因为，所以，

故选项C正确；

对于选项D：，，所以，故选项D不正确；

所以只有选项D不正确，

故选：D

9．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由题可得，，解得．所以函数的定义域是．

故选：D．

12．已知，且，函数与的图象只能是下图中的（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】当时，函数与的大致图象如图所示：

当时，函数与的大致图象如图所示：

根据题意，所以正确的是B．

故选：B．

13．下列函数表达式中，是对数函数的有（    ）

①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝ln x；⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝log2(x＋1)．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】形如（且）的函数为对数函数，

故③④为对数函数，

所以共有个.

故选：B

14．已知函数f(x)＝|lg x|，若0<a<b，且f(a)＝f(b)，则a＋4b的取值范围是________．

【答案】(5，＋∞)

【解析】函数f(x)＝|lg x|定义域为，图象如下：

因为f(a)＝f(b)，且0<a<b，所以0<a<1<b，且－lg a＝lg b，

即，所以a＋4b＝a＋，

令g(a)＝a＋，易知对勾函数g(a)在(0，1)上为减函数，所以g(a)>g（1）＝1＋＝5，即a＋4b的取值范围是(5，＋∞)．

故答案为：(5，＋∞)．

15．已知.

（1）求x的取值的集合A；

（2）时，求函数的值域；

（3）设若有两个零点､()，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由得，

，

∴，∴，

故为所求.   

（2）当时，

，

∵，∴，

∴，即为的值域.

（3）作出函数的图象，

∵有两个零点､且，

∴，，

且，

∴，   

∵，

∴

即的取值范围为.