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    【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.4.2 对数函数的图象和性质(课时教学设计)
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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优质教案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.3 对数优质教案,共8页。教案主要包含了目标检测设计等内容,欢迎下载使用。

    4.4.2 对数函数的图象和性质
    (一)教学内容
    对数函数的图象和性质
    (二)教学目标
    1 掌握对数函数的图像和性质;能利用对数函数的图像与性质来解决简单问题;
    2 能够用对数函数的性质去解决问题。
    (三)教学重点及难点
    1.教学重点
    对数函数的图像、性质及其应用
    2.教学难点
    对数函数图像和性质与底数a的关系。
    (四)教学过程设计
    问题1 :我们已经学习对数函数的概念,类比指数函数的学习过程,我们可以怎样研究对数函数?
    师生活动:(1)学生思考后回答。
    先作函数图象,然后根据图象研究函数性质(包括定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点、图象的其他变化特征等方面)。
    (2) 追问1:如何得到对数函数的图象?
    由特殊到一般的研究方法。
    (3) 追问2:选取哪些特殊的对数函数来研究?
    (4) 追问3:通过什么方法得到这个对数函数的图象?
    (5) 学生小组内进行讨论,上台展示。

    x



    1
    2
    4



    2[
    -1
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    1[来源:]
    2








    设计意图:培养学生的能力,达到对函数概念以及指数函数的巩固的目的,并为本节课的研究理清思路。
    问题2:我们知道,底数互为倒数的两个指数函数的图象关于 y轴对称.对于底数互为倒数的两个对数函数, 比如 和的图像,它们的图象是否也有某种对称关系呢?可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象?
    师生活动:(1)学生分组讨论思考后回答。
    利用换底公式,可以得到,因为点(x,y)与(x,-y)关于x轴对称,所以图象上任意一点P(x,y)关于x轴的对称点Q(x,-y)都在的图象,反之亦然。由此可知,底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称。根据这种对称性就能利用的图象画出的图象
    (2)追问1:函数以及的图象关于轴对称,可以解释吗?
    利用换底公式可以解释。在函数的图象上任取一点(x1,y1),则,所以点(x1,-y1)在函数的图象上。又点(x1,y1)和点(x1,-y1)关于轴对称,所以这两个函数图象关于轴对称。
    设计意图:尝试用代数的形式分析直观现象,数形结合,培养学生思维的严谨性。
    问题3:我们已经得到了和的图象,如何得到的图象呢?
    师生活动:(1)选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性。
    (2) 追问1:你能概括出对数函数(a>0,且a≠1)的值域和性质吗?
    学生概括后展示。



    图 象


    定义域

    值 域

    过定点

    单调性
    在上单调递减
    在上单调递增
    奇偶性
    非奇非偶
    函数值的分布
    当时,
    当时,
    当时,
    当时,

    设计意图:通过对特殊的对数函数图像观察,归纳出对数函数的性质;发展学生数学抽象、数学建模和逻辑推理等核心素养。
    问题4:对数函数(a>0,且a≠1),当底数越大时,函数图像间有什么样的关系?
    师生活动:选取底数为3,4,的对数函数,画出相应的函数图象,得到结论。


    对数函数(a>0,且a≠1),当底数越大时,在第一象限的函数图像越低(底大图低)。
    设计意图:让学生明确底数对对数函数图象的影响,提升直观想象和逻辑推理素养。
    问题4:我们已经得到了对数函数的图象与性质,你能利用图像与性质比较两个值的大小吗?
    师生活动:(1)例1 比较下面两个值的大小
    ⑴ ,;⑵ ,⑶ ,( a>0 , a≠1 )
    解:(1)和可以看作函数y=log 2 x 的两个函数值。
    因为a=2 > 1,函数y=log 2 x是增函数且3.4<8.5,
    所以 log23.4< log28.5。
    (2)和可以看作函数y=log 0.3 x 的两个函数值。
    因为a=0.3< 1, 函数y=log 0.3 x 是减函数且1.8<2.7
    所以 log 0.3 1.8> log 0.3 2.7 。
    (3) log a 5.1和 log a 5.9 可看作函数y=log a x的两个函值 , 对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1,因此需要对底数a进行讨论;
    当a > 1时, 因为y=log a x是增函数,且5.1 <5.9,所以log a 5.1 < log a 5.9 ;
    当0< a < 1时, 因为y=log a x是减函数,且5.1 <5.9,所以log a 5.1 > log a 5.9 ;
    (2) 追问1:你能总结出利用对数函数的单调性比较大小的方法吗?
    归纳总结:
    1、同底数时,直接利用对数函数的单调性比较大小.
    2、同真数时,利用对数函数的图象或用换底公式转化.
    3、底数和真数都不同时,找中间值.
    4、若底数为同一参数,则根据底数对对数函数单调性的影响,对底数进行分类讨论.
    设计意图:理解对数函数的单调性的基础上,会进行自变量与函数值不等关系的相互转换。
    问题5:对数函数在生活中应用广泛,你能利用对数函数解决生活的问题吗?
    师生活动:完成下面的题目。
    例2 溶液酸碱度的测量.溶液酸碱度是通过pH计量的,pH的计算公式为: 其中 表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.
    (1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式,说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
    (2)已知纯争水中氢离子的浓度为 摩尔/升,计算纯净水的pH值.



    设计意图:进-步熟悉对数函数的性质,并促使学生形成用函数观点解决问题的意识.体会数学的应用价值。
    问题6:根据指数与对数间的关系,你能探究指数函数与对数函数的关系吗?
    师生活动:(1)以y=2x (x∈R ,y ∈(0,+∞)和y=log2x( x∈(0,+∞))为例探究。
    已知函数 y=2x (x∈R ,y ∈(0,+∞))可得到x=log2y ,对于任意一个y∈(0,+∞),通过式子x=log2y ,x在R中都有唯一确定的值和它对应。
    也就是说,可以把y作为自变量,x作为y的函数,这是我们就说x=log2y(y∈(0,+∞))是函数 y=2x ( x∈R) 的反函数。
    但习惯上,我们通常用x表示自变量,y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y 中的字母x,y,把它写成y=log2x ,这样,对数函数y=log2x ( x∈(0,+∞) )是指数函数y=2x (x∈R )的反函数。
    (2)追问1:y = logax (a>0,且a≠1)与指数函数y = ax的定义域和值域有什么关系?
    函数 y = logax (a>0,且a≠1)与指数函数y = ax互为反函数。它们的定义域和值域恰好相反。
    (3) 追问2:你能总结对数函数与指数函数的区别联系吗?

    设计意图:进-步熟悉对数函数与指数函数的关系。
    问题7:回忆本节课的内容,请你回答以下几个问题:
    1、对数函数的图象是怎样的?
    2 、对数函数有哪些性质?
    3 、如何利用对数函数的性质比较两个值的大小?
    4、互为反函数的函数有何特点?
    师生活动:老师提问同学作答。
    设计意图:通过回顾本节课内容,形成知识体系,进行知识内化。
    五、目标检测设计
    课堂检测
    1. [2022福建连城一中高一周测]函数y=logax−4+2 (a>0 ,且a≠1 )的图象恒过定点( C )
    A. 4,2
    B. 2,4
    C. 5,2
    D. 2,5
    [解析]当x−4=1 ,即x=5 时,y=2 ,所以定点的坐标为5,2 .
    2. [2021浙江杭州高一期末]设a=log43 ,b=log0.43 ,c=30.4 ,则实数a ,b ,c 的大小关系是( C )
    A. a>b>c
    B. a>c>b
    C. c>a>b
    D. c>b>a
    [解析]01 ,所以c>a>b .
    3. 如图是三个对数函数的大致图象,则a ,b ,c 的大小关系是( D )

    A. a>b>c
    B. c>b>a
    C. c>a>b
    D. a>c>b
    [解析]由题图可知a>1 ,0b .∴a>c>b ,故选D.
    4. 若函数fx=logax (a>0 ,且a≠1 )的反函数的图象过点1,3 ,则flog28= ( B )
    A. −1
    B. 1
    C. 2
    D. 3
    [解析]依题意,函数fx=logax (a>0 ,且a≠1 )的反函数是y=ax ,即函数y=ax 的图象过点1,3 ,
    则a=3 ,fx=log3x ,于是flog28=log3log28=log33=1 ,
    所以flog28=1 .故选B.
    5. 已知实数a ,b 满足log12a=log13b ,则给出下面五种关系:
    ①0 其中可能成立的序号为②④⑤.
    [解析]由题意得,令y1=log12a ,y2=log13b ,
    在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象,如图所示.
    若y1=y2>0 ,即log12a=log13b>0 ,则0 若y1=y2<0 ,即log12a=log13b<0 ,则1 若y1=y2=0 ,即log12a=log13b=0 ,则a=b=1 .故②④⑤成立.

    课后作业
    教科书第135页练习2,3
    设计意图:巩固本节课的主要知识、方法。
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