2020-2021学年第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质学案

3.2.2　奇偶性

课程标准

(1)理解奇函数、偶函数的定义．(2)了解奇函数、偶函数图象的特征．(3)掌握判断函数奇偶性的方法．(4)能利用函数的奇偶性与单调性分析、解决简单问题．

新知初探·课前预习——突出基础性

教 材 要 点

要点一　函数的奇偶性

要点二　奇偶性与单调性

一般地，若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有____的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有____的单调性．

助 学 批 注

批注❶　奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性．

基 础 自 测

1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)f(x)是定义在R上的函数，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　)

(2)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．(　　)

(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．(　　)

(4)若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数．(　　)

2．下列函数是奇函数的是(　　)

A．y＝     B．y＝－x2＋1

C.  y＝      D．y＝3－x

3．若函数y＝f(x)，x∈[－2，a]是偶函数，则a的值为(　　)

A. －2         B．2

C.  0          D．不能确定

4．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．(填序号)

题型探究·课堂解透——强化创新性

题型 1　函数奇偶性的判断

例1　(1) f (x)＝x3＋x；

(2)f(x)＝|x＋2|＋|x－2|；

(3)f (x)＝x2＋；

(4)f (x)＝.

方法归纳

判断函数奇偶性的3种方法

巩固训练1　判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝；

(2)f(x)＝；

(3)f(x)＝(x2－1).

题型 2　函数奇偶性的应用

例2　(1)已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，则f(3)＝(　　)

A．26    B．18

C．10    D．－26

(2)设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________．

(3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x2－x，则f(x)＝________．

方法归纳

1．已知函数的奇偶性求参数的2种方法

2．利用函数奇偶性求函数解析式的一般步骤

巩固训练2　(1)已知函数f(x)＝x2－(2－m)x＋3为偶函数，则m的值是(　　)

A．1      B．2

C．3      D．4

(2)已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 022)＝3，则f(－2 022)＝(　　)

A．－7    B．－5

C．－3    D．3

(3)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．

题型 3　函数的奇偶性与单调性的应用

例3　(1)已知定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，则(　　)

A．f(2)＜f(－4)＜f(3)

B．f(－3)＜f(－4)＜f(2)

C．f(2)＜f(－3)＜f(－4)

D．f(－4)＜f(－3)＜f(2)

(2)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则f(x－2)＞0的解集是(　　)

A．{x|－3＜x＜3}        B．{x|x＜－1或x＞5}

C．{x|x＜－3或x＞3}    D．{x|x＜－5或x＞1}

方法归纳

1．利用奇偶性与单调性比较大小的2种策略

2．利用奇偶性与单调性解不等式的步骤

巩固训练3　(1)若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则(　　)

A．f(－)＜f(－1)＜f(2)

B．f(2)＜f(－)＜f(－1)

C．f(2)＜f(－1)＜f(－)

D．f(－1)＜f(－)＜f(2)

(2)已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．

3.2.2　奇偶性

新知初探·课前预习

[教材要点]

要点一

f(－x)＝f(x)　y轴　f(－x)＝－f(x)　原点

要点二

相同　相反

[基础自测]

1．答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2．解析：A.由奇偶函数的定义域关于原点对称知，A错误；

B．函数f(x)＝－x2＋1，x∈R，得f(－x)＝－(－x)2＋1＝－x2＋1＝f(x)，故B错误；

C．函数f(x)＝，x≠0，得f(－x)＝＝－＝－f(x)，故C正确；

D．函数f(x)＝3－x，x∈R，得f(－x)＝3－(－x)＝3＋x，故D错误．

答案：C

3．解析：因为偶函数的定义域关于原点对称，所以－2＋a＝0，所以a＝2.

答案：B

4．解析：(1)(3)关于y轴对称是偶函数，(2)(4)关于原点对称是奇函数．

答案：(2)(4)　(1)(3)

题型探究·课堂解透

例1　解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－(x3＋x)＝－f (x)，所以该函数是奇函数．

(2)函数定义域为R，且f (－x)＝|－x＋2|＋|－x－2|＝|x－2|＋|x＋2|＝f (x)，所以该函数是偶函数．

(3)函数定义域是{x|x≥0}，不关于原点对称，因此它是非奇非偶函数．

(4)要使函数有意义，需满足解得x＝±2，即函数的定义域是{2，－2}，这时f (x)＝0.

所以f (－x)＝f (x)，f (－x)＝－f (x)，因此该函数既是奇函数又是偶函数．

巩固训练1　解析：(1)函数定义域为R，且f (－x)＝＝＝－f(x)，故该函数是奇函数．

(2)函数定义域为{x|x≠±1}，关于原点对称，且f (－x)＝＝＝f(x)，故该函数是偶函数．

(3)函数定义域是{x|x≥－1}，定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．

例2　解析：(1)方法一：

由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.

令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，

∴G(x)是奇函数，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，

∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.

方法二：

由已知条件，

得

①＋②得f(3)＋f(－3)＝－16，又f(－3)＝10，∴f(3)＝－26.

(2)方法一(定义法)

由已知f(－x)＝－f(x)，

即＝－

显然x≠0得，x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，

故a＋1＝0，得a＝－1.(经检验满足题意)

方法二(特值法)

由f(x)为奇函数得f(－1)＝－f(1)，即＝－，

整理得a＝－1.

(3)函数f(x)是定义在R上的奇函数，可得f(0)＝0；

当x＞0时，f(x)＝－x2－x；

当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝－x2＋x，

又f(－x)＝－f(x)，可得x＜0时，f(x)＝x2－x.

所以f(x)＝

答案：(1)D　(2)－1　(3)

巩固训练2　解析：(1)方法一：

f(－x)＝(－x)2－(2－m)(－x)＋3＝x2＋(2－m)x＋3，由函数y＝f(x)为偶函数，知f(－x)＝f(x)，即x2＋(2－m)x＋3＝x2－(2－m)x＋3，∴2－m＝－(2－m)，∴m＝2.

方法二：

由f(－1)＝f(1)得4＋(2－m)＝4－(2－m) ，解得m＝2.

(2)∵f(2 022)＝a×20223＋b×2 022－2＝3，

∴a×20223＋b×2 022＝5，

∴f(－2 022)＝－a×20223－b×2 022－2＝－5－2＝－7.

(3)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，

所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，

由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.　①

用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，

所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，　②

(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.

(①－②)÷2，得g(x)＝2x.

答案：(1)B　(2)A　(3)见解析

例3　解析：(1)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，

所以f(3)＝f(－3)，f(4)＝f(－4)，

因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(0，＋∞)上是减函数，

所以函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，

因为2＜3＜4，∴f(4)＜f(3)＜f(2)，∴f(－4)＜f(－3)＜f(2)．

(2)因为f(3)＝0，则f(x－2)＞0，

所以f(x－2)＞f(3)，

因为f(x)为偶函数，所以f(|x－2|)＞f(3)，

因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，

所以|x－2|＞3，解得x＜－1或x＞5，

所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞5}．

答案：(1)D　(2)B

巩固训练3　解析：(1)∵对任意实数x总有f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f(2)＝f(－2)．

又f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，－2<－<－1，

∴f(2)<f(－)<f(－1)．

(2)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．

∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．

又f(x)在[－1，1]上单调递减，

∴解得∴0≤a＜1.∴a的取值范围是[0，1)．

答案：(1)B　(2)[0，1)