过关卷11.3 多边形及其内角和八年级上册考点专训（人教版）

过关卷11.3 多边形及其内角和

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．下列平面图形中，属于八边形的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据八边形的定义判断即可；

【详解】

根据判断可得：A是六边形；B是四边形；C是八边形；D是圆；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形的判定，准确判断是解题的关键．

2．把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不可能是（　　）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】A

【详解】

一个n边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n边形或（n+1）边形或（n-1）边形．故当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形状可能是18边形或17边形或19边形，不可能是16边形.

故选A.

【点睛】

此题主要考查了多边形，减去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条.

3．从一个多边形的一个顶点出发，得到10 条对角线，则这个多边形的边数是（    ）

A．13 B．12 C．11 D．10

【答案】A

【分析】

根据一个多边形的边数为n,则它有n个顶点,掌握每个顶点引（n-3）条对角线，确定多边形的边数.

【详解】

解：设一个多边形的边数为n,由题意得：

n-3=10

n=13

故答案为：A.

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的问题，设一个多边形的边数为n,则它有n个顶点,掌握每个顶点引（n-3）条对角线是解题的关键.

4．如图，在边长为的小正方形网格中，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形图中①，②，③，④四个格点多边形的面积分别记为下列说法正确的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

根据题意判断格点多边形的面积，依次将计算出来，再找到等量关系．

【详解】

观察图形可得

∴，

故选：．

【点睛】

本题考查了新概念的理解，通过表格获取需要的信息，找到关于面积的等量关系．

5．一个多边形的每一外角都等于，那么这个多边形的内角和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

由一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，即可求得这个多边形的边数，由多边形内角和公式可求解．

【详解】

解：一个多边形的每一个外角都等于，且多边形的外角和等于，

这个多边形的边数是：，

这个多边形的内角和，

故选：．

【点睛】

本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是：掌握多边形的外角和等于．

6．一个正多边形的一个外角为，则这个正多边形的边数为（    ）

A．9 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【分析】

根据多边形的外角和为360°，即可求解．

【详解】

解：∵多边形的外角和为360°，

∴该多边形的边数为，

故选：C．

【点睛】

本题考查多边形的外角和，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．

7．如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，测量得∠1＝70°，∠2＝152°，则∠A为（　　）

A．40° B．42° C．30° D．52°

【答案】B

【分析】

利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果．

【详解】

解：∵，，

∴，

∴，

故选：B．

【点睛】

此题考查了多边形内角与外角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．

8．现有正三角形、正方形、正六边形、正八边形地砖，若只能选择一种地砖铺设地面，则可供选择的地砖有（   ）

A．1种 B．2种 C．3种 D．4种

【答案】C

【分析】

由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除360°，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能．

【详解】

解：正三角形的每个内角是60°，能整除360°，6个能组成镶嵌；

正方形的每个内角是90°，4个能组成镶嵌；

正六边形的每个内角是120°，能整除360°，3个能组成镶嵌；

正八边形每个内角是180°-360°÷8=135°，不能整除360°，不能镶嵌；

故若只能选购其中的一种地砖来铺满地面，则可供选择的地砖共有3种．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除360°．

9．嘉淇用一些完全相同的△ABC纸片拼接图案，已知用六个△ABC纸片按照如图1所示的方法拼接，可得外轮廓是正六边形图案，若用n个△ABC纸片按如图2所示的方法拼接，那么可以得到外轮廓的图案是（　　）

A．正七边形 B．正八边形 C．正九边形 D．正十边形

【答案】C

【分析】

根据第一个图外轮廓是正六边形图案可求的△ABC纸片的为，则,新多边形的一个内角为，因为是正多边形，利用正多边形的内角和公式即可求解．

【详解】

正六边形的每个内角为：

,

由题意可知，新的图案是一个正多边形，

新多边形的一个内角为

设新多边形的边数为

．

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形内角和为，正多边形的内角公式，多边形内角和公式，理解题意求出正多边形的一个内角是解题的关键．

10．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（    ）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【答案】D

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设多边形的边数为n，

由题意得，（n-2）•180°=2×360°，

解得n=6，

所以，这个多边形是六边形．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．

11．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝67°，则∠AED的度数是（　　）

A．78° B．88° C．92° D．112°

【答案】B

【分析】

根据多边形的外角和定理即可求得∠5,利用邻补角求∠AED即可．

【详解】

解：∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝67°，

∴∠5＝360°-4×67°=92°，

∵∠5+∠AED＝180°，

∴∠AED＝88°，

故选择：B ．

【点睛】

本题主要考查了多边形的外角和定理：以及多边形内角与外角关系，多边形的外角和等于360°．

12．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（       ）

A．1440 B．1800 C．2880 D．3600

【答案】C

【分析】

本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．

【详解】

解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；

二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；

二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；

…

∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和，本题可直接根据S的度数来找出规律，然后根据规律表示出二环十边形的度数．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．一个四边形截去一个角后变成_______________．

【答案】三角形或四边形或五边形

【详解】

试题解析：一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．

如图：

14．如图，将周长为10的沿边向右平移3个单位，得到，则四边形的周长为______．

【答案】16

【分析】

先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后将四边形ABFD的周长转化为可得．

【详解】

解：由平移的性质得：，

的周长为10，

，

则四边形ABFD的周长为，

，

，

，

，

．

故答案为：16．

【点睛】

本题考查了平移的性质，多边形的周长等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键．

15．如图，是中国象棋残局图的一部分，请用线段将图中棋子所在的格点按指定方向顺次连接，组成一个多边形．连接顺序为：将→象→炮→兵→马→車→将，则组成的多边形的内角和为_________度．

【答案】720

【分析】

根据题意可知，组成的多边形是六边形，根据多边形内角和定理即可求解．

【详解】

解：如图，根据题意，组成的多边形是六边形，

（6﹣2）×180°＝720°．

故组成的多边形的内角和为720度．

故答案为：720．

【点睛】

考查了多边形内角和，关键是熟练掌握多边形内角和定理．

16．如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDFH，使点F，H在其内部，连接FE，则∠DFE＝_____．

【答案】81°

【分析】

根据正多边形的性质以及内角和求解即可．

【详解】

由正多边形的内角和公式可得：

正五边形ABCDE的内角和为，

∴，

∵四边形CDFH是以CD为边的正方形，

∴，，

∴为等腰三角形，

∴，

故答案为：81°．

【点睛】

本题考查正多边形的性质，理解基本性质是解题关键．

17．一个多边形除一个内角外其余内角和为1510°，则这个多边形共有对角线_________条．

【答案】44

【分析】

设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法即可．

【详解】

设这个内角度数为x°，边数为n，

∴（n-2）×180-x=1510，

 180n=1870+x=1800+（70+x），

n=10+

∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故答案为：44．

【点睛】

此题考查多边形的内角和计算公式以及多边形的对角线条数的计算方法，属于需要识记的知识．

18．各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋b－1，其中a表示多边表内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是___.

【答案】6

【分析】

观察图像，得出a,b的值即可.

【详解】

由图可知，a=4,b=6,

∴ S＝a＋b－1=6

【点睛】本题考查的是·多边形，仔细观察图像是解题的关键.

三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）

19．已知一个正多边形的一个外角等于一个内角的，求这个正多边形的边数和每一个内角的度数．

【答案】这个正多边形的边数为，每一个内角的度数为

【分析】

设该正多边形的一个内角的度数为，则一个外角的度数为，根据题意列出方程即可求出内角的度数，再根据正多边形的边数=360÷外角的度数，即可求解正多边形的边数；

【详解】

解：设该正多边形的一个内角的度数为，

则一个外角的度数为，

解得，

外角度数为：

该正多边形的边数为，

答：这个正多边形的边数为，每一个内角的度数为；

【点睛】

本题主要考查了正多边形的内角和外角、正多边形的边数，掌握正多边形的边数=360÷外角的度数是解题的关键．

20．小聪同学记得，在作业本中曾介绍了奥地利数学家皮克发现的一个计算点阵中多边形面积的公式：，其中表示多边形内部的点数，表示多边形边界上的点数，不过，他忘了系数的值，请你运用下面的图形解决问题，下列图形中有四个相邻点围城的正方形面积是个单位面积

（1）计算图①中正方形的面积，并求系数的值

（2）利用面积公式，求出图②、图③的多边形的面积

【答案】（1）S=9，k=；（2）图②：14，图③：9.5

【分析】

（1）根据图像可直接计算出正方形面积，再数出a和b的值，代入公式即可计算k值；

（2）分别得出图②和图③中a和b的值，再利用公式求出面积．

【详解】

解：（1）由图可知：图①中正方形的边长为3，

∴面积为3×3=9，

在中，对应a=4，b=12，

∴9=4+12k-1，

解得：k=；

（2）图②中，a=10，b=10，

则S=10+×10-1=14，

图③中，a=5，b=11，

则S=5+×11-1=9.5．

【点睛】

本题考查了格点图形的面积的计算，一个单位长度的正方形网格纸中多边形面积的公式：的运用．

21．（1）填表：

（2）猜想给定一个正整数n，凸n边形最多有m个内角等于135°，则m与n之间有怎样的关系？

（3）取n＝7验证你的猜想是否成立？如果不成立，请给出凸n边形中最多有多少个内角等于135°？并说明理由．

【答案】（1）1，2，3；（2）m＝n﹣2；（3）不成立，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°，理由见解析

【分析】

（1）根据三角形、四边形、五边形的内角和，可求得答案；

（2）根据（1）可猜想凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2；

（3）设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，由凸n边形的n个外角和为360°，分类讨论，可确定凸n边形中最多有多少个内角等于135°．

【详解】

解：（1）∵三角形中只有一个钝角，

∴三边形中角度等于135°的内角个数的最大值为1；

∵四边形的内角和为360°，

∴四边形中角度等于135°的内角个数的最大值为2；

∵五边形的内角和为540°，

∴五边形中角度等于135°的内角个数的最大值为3；

答案：1，2，3；

（2）由（1）得：凸n边形中角度等于135°的内角个数的最大值为：n﹣2．

即m＝n﹣2；

（3）取n＝7时，m＝6，验证猜想不成立；

设凸n边形最多有m个内角等于135°，则每个135°内角的外角都等于45°，

∵凸n边形的n个外角和为360°，

∴k≤＝8，只有当n＝8时，m才有最大值8，

讨论n≠8时的情况：

（1）当时n＞8，m的值是7；

（2）当n＝3，4，5时，m的值分别为1，2，3；

（3）当n＝6，7时，m的值分别为5，6；

综上所述，当3≤n≤5时，凸n边形最多有n﹣2个内角等于135°；当6≤n≤7时，凸n边形最多有n﹣1个内角等于135°；当n＝8时，凸n边形最多有8个内角等于135°；当n＞8时，凸n边形最多有7个内角等于135°．

【点睛】

此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度较大，注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．

22．如图，小亮从点处出发，前进5米后向右转，再前进5米后又向右转，这样走次后恰好回到出发点处.

（1）小亮走出的这个边形的每个内角是多少度？这个边形的内角和是多少度？

（2）小亮走出的这个边形的周长是多少米？

【答案】（1）这个边形的每个内角为，这个边形的内角和为3960度；（2）小亮走出这个边形的周长为120米.

【分析】

（1）这个n边形每个内角度数为180°﹣15°＝165°；根据多边形外角和360°，用360除以15求出边数，再利用内角和公式即可求解；

（2）周长为边数乘以边长．

【详解】

解：（1）这个边形的每个内角为.

∵多边形的外角和为，

∴，解得：，

∴这个边形的内角和为3960度.

（2）（米），所以小亮走出这个边形的周长为120米.

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角与外角，解题的关键是通过多边形外角和求解边数，再利用多边形内角和公式求解度数．

23．观察探究及应用．

（1）如图，观察图形并填空：

一个四边形有_______条对角线；一个五边形有_______条对角线；一个六边形有_______条对角线；

（2）分析探究：

由凸边形的一个顶点出发，可作_______条对角线，多边形有个顶点，若允许重复计数，共可作_______条对角线；

（3）结论：一个凸边形有_______条对角线；

（4）应用：一个凸十二边形有多少条对角线？

【答案】（1）2；5；9；（2）(n-3)；n(n-3)；（3）；（4）54

【分析】

（1）根据图形数出对角线条数即可；

（2）根据所画图形可推导出凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，进而可得共可作n(n-3)条对角线；

（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，即可解答；

（4）把n=12代入（3）计算即可．

【详解】

解：（1）根据图形数出对角线条数，一个四边形有2条对角线，一个五边形有5条对角线，一个六边形有9对角线；

故答案为：2；5；9；

（2）∵从凸4边形的一个顶点出发，可作1条对角线，

从凸5边形的一个顶点出发，可作2条对角线，

从凸6边形的一个顶点出发，可作3条对角线，

从凸7边形的一个顶点出发，可作4条对角线，

…

∴从凸n边形从一个顶点出发可引出(n-3)条对角线，若允许重复计数，共可作n(n-3)条对角线；

故答案为：(n-3)；n(n-3)．

（3）由（2）可知，任意凸n边形的对角线有条，

故答案为：．

（4）把n=12代入计算得：=54．

故一个凸十二边形有54条对角线．

【点睛】

本题考查了多边形的对角线，解题关键是n边形从一个顶点出发的对角线有(n-3)条．

24．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件：画出图形，把截去的部分打上阴影

新多边形内角和比原多边形的内角和增加了．

新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．

新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了．

将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为，求原多边形的边数．

【答案】（1）作图见解析；（2）15，16或17．  

【解析】

【分析】

（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；

②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；

③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；

（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．

【详解】

如图所示：

设新多边形的边数为n，

则，

解得，

若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，

若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，

若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，

故原多边形的边数可以为15，16或17．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．