人教版八年级上册11.1.1 三角形的边优秀课堂检测

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过关卷11.1 三角形的边
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．工人师傅砌门时，如图所示，常用木条EF固定矩形木框ABCD，使其不变形，这是利用（）．

A．两点之间线段最短 B．三角形的稳定性
C．垂线段最短 D．两直线平行，内错角相等
【答案】B
【分析】
三角形具有稳定性，其他的多边形不具备稳定性，但把多边形分割成三角形的形状就具有了稳定性．
【详解】
解：如图所示，通过连接木条形成 ，而三角形具有稳定性，故不会变形．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的稳定性的实际应用，三角形在实际生活中有广泛的应用，如房屋桥梁等，本题关键在于要知道要使多边形具有稳定性，则可将其分割成三角形．
2．学习完三角形的概念后，小强同学用火柴拼成的图形如下，其中符合三角形概念的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据三角形的概念一一辨析可得正确解答．
【详解】
解：三角形指的是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，而A、B、D图形的三根火柴都全部没有或者部分没有首尾相接，所以A、B、D都不符合题意，只有C图形是由三根火柴首尾顺次相接而成的，所以C符合三角形概念．
故选C．
【点睛】
本题考查三角形的定义，正确理解三角形是不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形是解题关键．
3．如图，在的正方形网格中，能画出与“格点”面积相等的“格点正方形”有（ ）个．

A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】
求出的面积为4，然后作出面积为4的格点正方形即可．
【详解】
解：，
则可画出的格点正方形如图：

共有6个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了格点图形的面积计算，掌握基本图形的性质是解题的关键．
4．下列关于三角形分类不正确的是（整个大方框表示全体三角形）（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
给出知识树，分析其中的错误，这就要求平时学习扎实认真，概念掌握的准确．
【详解】
解：根据选项，可知根据角和边来对三角形分别进行分类．
故选：C．
【点睛】
此题考查三角形问题，很基础的一道考查数学概念的题目，在考查知识的同时也考查了学生对待学习的态度，是一道好题．
5．画中边上的高，下列画法中正确的是　　．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
结合题意，根据三角形高的性质分析，即可得到答案．
【详解】
选项A不是的高，故不符合题意；
选项B不是的高，故不符合题意；
选项C不是的高，故不符合题意；
选项为中边上的高，故符合题意；
故选：．
【点睛】
本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形高的性质，从而完成求解．
6．下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3，4，8 B．5，6，11 C．4，4，8 D．8，8，8
【答案】D
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A、3+4＜8，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、4+4=8，不能构成三角形；
D、8+8＞8，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
7．在自习课上，小红为了检测同学们的学习效果，提出如下四种说法：
①三角形有且只有一条中线；②三角形的高一定在三角形内部；③三角形的两边之差大于第三边；④三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形．其中错误的说法是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】
三角形有三条中线对①进行判断；钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，对②进行判断；根据三角形三边的关系对③进行判断；根据三角形的分类对④进行判断．
【详解】
①三角形有三条中线，故①错误；
②钝角三角形三条高，有两条在三角形外部，故②错误；
③三角形的任意两边之差小于第三边，故③错误；
④三角形按边分类可分为等腰三角形、不等边三角形，故④正确；
综上，选项①②③错误，
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的有关概念，属于基础题型．要注意等腰三角形与等边三角形两个概念的区别．
8．如图，在中，的延长线于点D，的长线于点E．于点C，延长线于点E，于点C，下列说法错误的是（ ）

A．是的AB边上的高 B．是的边上的高
C．是的边上的高 D．不是的高
【答案】A
【分析】
根据高是从三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足间的线段叫三角形的高作答．
【详解】
解：A、不符合高的概念，故错误；
B、符合高的概念，故正确；
C、符合高的概念，故正确；
D、符合高的概念，故正确．
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的高的概念，属于基础题，比较简单．
9．如图，ABC中，AD是BC边上的中线，CE是ACD中AD边上的中线，如果ABC的面积是20，那么ACE的面积是（　　）

A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【分析】
根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，即可解答．
【详解】
解：∵AD是BC上的中线，△ABC的面积是20，
∴S△ACD＝S△ABD＝S△ABC＝10，
∵CE是△ACD中AD边上的中线，
∴S△ACE＝S△CED＝S△ACD＝5．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形面积的求法，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．
10．如图，已知D、E分别为的边、的中点，为的中线，连接，若四边形的面积为15，则的面积为（ ）

A．36 B．24 C．21 D．20
【答案】B
【分析】
连接DE，设S△DEF=x，根据等底同高的三角形的面积相等，以及三角形中线的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接DE，设，
∵D、E分别为的边AC、BC的中点，AF为的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形AFEC的面积，
∴，
∴的面积．
故选B．

【点睛】
本题考查了中线的定义，三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等和中线平分三角形面积是解题的关键．
11．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别为BC、AD、CE的中点，且S△ABC＝16cm2，则阴影部分（△BEF）的面积等于（　　）

A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2
【答案】B
【分析】
三角形的一条中线分三角形为两个三角形，这两个三角形的面积相等，根据以上内容求出每个三角形的面积，即可求出答案．
【详解】
解：∵S△ABC＝16cm2，D为BC中点，
∴S△ADB＝S△ADC＝ ＝8cm2，
∵E为AD的中点，
∴S△BED＝＝4cm2，S△CED＝＝4cm2，
∴S△BEC＝S△BED+S△CED＝4cm2+4cm2＝8cm2，
∵F为CE的中点，
∴S△BEF＝ S△BEC＝4cm2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了三角形的中线平分面积，能求出各个三角形的面积是解此题的关键．
12．如图是由18根完全相同的火柴棒摆成的图形，如果拿掉其中的3根，剩下的图形中恰好有7个三角形，那么拿掉的3根火柴棒可能是（ ）

A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】
根据各选项画出相应图形，再数三角形的个数即可得．
【详解】
A、拿掉，，后，剩下的图形如下：

图形中恰好有7个三角形，此项符合题意；
B、拿掉，，后，剩下的图形如下：

图形中有4个三角形，此项不符题意；
C、拿掉，，后，剩下的图形如下：

图形中有6个三角形，此项不符题意；
D、拿掉，，后，剩下的图形如下：

图形中有9个三角形，此项不符题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了三角形的概念，正确画出剩下的图形是解题关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
13．大桥钢架、索道支架等为了坚固，都采用三角形结构．这样做的根据是__________________．
【答案】三角形具有稳定性
【分析】
三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性，利用三角形的稳定性即可解释．
【详解】
∵三角形具有稳定性，
∴大桥钢架、索道支架等为了坚固，都采用三角形结构．
这样做的根据是三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
【点睛】
本题考查三角形的稳定性，掌握三角形是固定不变的，不会变形，即三角形的稳定性，生活中需要稳定的东西一般都制成三角形的形状．
14．三角形三边的比为，周长为，则三角形三边的长分别为________．
【答案】12、16、20
【分析】
可设三角形的三边分别为，和，利用周长可求得x的值，则可求得三角形的三边长．
【详解】
∵三角形三边的比为3：4：5，
∴可设三角形的三边分别为，和，
由题意可知，解得，
∴三角形三边的长分别为12、16、20，
故答案为：12、16、20．
【点睛】
本题主要考查了三角形的周长，利用三角形的三边之比设出边长，利用三角形的周长得到方程是解题的关键．
15．如图，在长方形网格中，每个小长方形的长为，宽为，,两点在网格格点上，若点也在网格格点上，以,,为顶点的三角形的面积为，则满足条件的点有______个．

【答案】4
【分析】
尝试在网格中寻找符合条件的点，总共有16个点，可以依次尝试一遍．
【详解】
根据题意，遍历网络中的所有点，发现符合条件的点C点如下图：

故答案为：4．
【点睛】
本题考查在格点中找寻符合要求的点，此类题型，我们需要大胆尝试．
16．如图，已知为的中线，，，的周长为20cm，则的周长为______cm．

【答案】23
【分析】
根据中线的定义可得BD=CD，进而可得AD+DC=AD+BD，然后再根据的周长求△ABD的周长即可．
【详解】
∵为的中线，
∴BD=CD，
∴AD+DC=AD+BD，
∵的周长为20cm，
∴AD+DC+AC=20，
∴AD+DC=20-AC=13，
∴AB+AD+BD=10+13=23，即的周长为23cm，
故答案为：23
【点睛】
本题考查三角形中线，熟练掌握中线的定义是解题关键．
17．如图，、分别是的边、上的高，若，，．则的长等于______cm．

【答案】
【分析】
根据三角形的面积公式即可求得．
【详解】
解∵AD、BE分别是△ABC的高，
∴S△ABC=BC•AD=AC•BE，
∴BC•AD=AC•BE，
∵AD=4cm，BC=7cm，AC=5cm，
∴BE===cm，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角形的面积公式的应用；三角形的面积=×底×高．
18．如图，某地有三个车站A，B，C，顺次连接AB，BC，CA，构成三角形，一辆公共汽车从B站前往C站．

（1）当汽车行驶到点D时，刚好有，连接AD，AD这条线段是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条，此时____________（填“有”或“没有”）面积相等的三角形；
（2）汽车继续向前行驶，当行驶到点E时，发现，那么AE这条线段是中的____________，在中，这样的线段有____________条；
（3）汽车继续向前行驶，当行驶到点F时，发现，那么AF是中BC边上的____________，在中，这样的线段有____________条．
【答案】（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3
【分析】
（1）由于BD=CD，则点D是BC中点，AD是中线，一个三角形有三条中线，三角形的中线把三角形成面积相等的两个三角形；
（2）由于，得到AE是三角形的角平分线，一个三角形有三条角平分线；
（3）由于，得到AF是三角形高，一个三角形有三条高．
【详解】
解：（1）AD是中BC边上的中线，在中，这样的线段有3条，此时△ABD与△ACD面积相等；
（2）AE这条线段是中的角平分线，在中，这样的线段有3条；
（3）AF是中BC边上的高，在中，这样的线段有3条．
故答案为：（1）中线，3，有；（2）角平分线，3；（3）高，3．
【点睛】
本题考查了三角形的高线、角平分线、中线的概念，理解好相关概念是解题关键．
三、解答题（19题6分，其余每题8分，共46分）
19．如图所示，
（1）图中有几个三角形？
（2）说出的边和角．
（3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？

【答案】（1）图中有：，，，，，共5个；
（2）的边：，，，角：，，；
（3）是，，的边；是，，的角．
【分析】
（1）分类找三角形，含AB的，含AD（不含AB）的，含DE（不含AD）的三类即可；
（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；
（3）观察图形，找出含AD的三角形，先找AD左边的，再找AD右边的即可，根据三角形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在∠C的内部在线段看与角的两边是否相交即可
【详解】
解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC，
以AD为边的三角形有△ADE，△ADC，
再以DE为边三角形有△DEC，
一共有5个三角形分别为，，，，；
（2）的边：，，，
角：，，；
（3）是，，的边；
是，，的角．
【点睛】
本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键．
20．被外界赞誉为世界奇迹的港珠澳大桥(下图)，是连接香港、珠海、澳门的超大型跨海通道，全长55公里，无论从施工难度，还是从施工的复杂度，甚至从施工周期的长短来看，都足以配得上这样的称赞．
(1)观察大桥图形，有好多的拉线，这些拉线和大桥的其他部位组成的图形形状是三角形，这样设计是利用了三角形的 ；

(2)用八根木条钉成的如图所示的八边形木架，要使它不变形，至少要再钉 根木条，在图上画出来．

【答案】（1）稳定性 ；（2）5 ，图见解析
【分析】
（1）根据三角形稳定性，即可回答；
（2）通过添加辅助线，构造三角形，再确定答案即可．
【详解】
（1）稳定性；
（2）5 ，答案不唯一：参考答案如图

【点睛】
三角形的稳定性在生产生活中具有广泛应用，要善于观察，体会．
21．用一根长度为的细绳围成一个等腰三角形.
（1）如果所围等腰三角形的腰长是底边长的2倍，则此时的底边长度是多少？
（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于，请简单说明原因.
（3）若所围成的等腰三角形的腰长为，请求出的取值范围.
【答案】（1）此时的底边长度是；（2）所围成的等腰三角形的腰长不可能等于；（3）.
【分析】
（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm，根据周长公式列一元一次方程，解方程即可求得底边的长；
（2）由题意直接利用三角形三边关系进行检验即可说明原因；
（3）假设所围成的等腰三角形的腰长为，由题意直接利用三角形三边关系列不等式组进而即可求出的取值范围.
【详解】
解：（1）设底边长度为，
∵腰长是底边的2倍，
∴腰长为，
∴，
解得，，
∴此时的底边长度是.
（2）原因：假设可以围成腰长为4的等腰三角形，则该三角形的三边长分别为：，，，
∵，
∴无法构成三角形，故所围成的等腰三角形的腰长不可能等于.
（3）∵等腰三角形的腰长为，
∴等腰三角形的底边长为，由，得，
∴的取值范围为：.
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
22．如图，已知，分别是的高和中线，，，，．试求：


（1）的长；
（2）的面积；
（3）和的周长差．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】
（1）利用直角三角形面积的两种求法求线段AM的长度即可；
（2）先求△ABC的面积，再根据△ANC与△ABN是等底同高的两个三角形，它们的面积相等，由此即可求得△ABN的面；
（3）由AN是中线，可得BN=CN，根据△ACN的周长-△ABN的周长=AC+AN+CN-（AB+BN+AN），化简可得△ACN的周长-△ABN的周长=AC-AB，即可求解．
【详解】
（1）∵，是边上的高，
∴，
∴，
即的长度为；
（2）如图，∵是直角三角形，，，，
∴．
又∵是边的中线，
∴，
∴，即，
∴．
∴的面积是．


（3）∵为边上的中线，
∴，
∴的周长-的周长，
即和的周长的差是．
【点睛】
本题考查了中线的定义、三角形周长的计算，解题的关键是利用直角三角形面积的两种表达方式求线段AM的长．
23．在中，交的延长线于点，点是线段上的一个动点．
特例研究：
当点与点重合时，过作交的延长线于点，如图①所示，通过观察﹑测量与的长度，得到．请给予证明．

猜想证明：
当点由点向点移动到如图②所示的位置时，过作交的延长线于点，过作交于点，此时请你通过观察，测量与的长度，猜想并写出与之间存在的数量关系，并证明你的猜想．

拓展延伸：
当点由点向点继续移动时（不与重合） ，过作交于点，过作交（或的延长线）于点，如图③，图④所示，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立?（不用证明）

【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）结论不变：
【分析】
（1）根据，， 即可解决问题；
（2）结论，利用面积法证明即可；
（3）结论不变，证明方法类似（2）．
【详解】
（1）证明：如图①中，

∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：结论，
理由：如图②中，连接，

∵，，，，
∴，
∵，
∴；
（3）结论不变：，证明如下：
如图③，连接AD，

∵，，，，
∴，
∵，
∴；
如图④，连接AD，

∵，，，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】
本题考查三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法证明线段之间的关系．
24．（数学经验）三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分
（经验发展）（1）面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比，如图1，的边上有一点，请证明：


（结论应用）（2）如图2，的面积为1，，求的面积；
（拓展延伸）（3）如图3，的边上有一点，为上任意一点，请利用上述结论，证明：
（迁移应用）（4）如图4，中，是的三等分点，是的中点，若的面积是1，请直接写出四边形的面积_________________
【答案】（1）见解析；（2）12；（3）见解析；（4）
【分析】
[经验发展]过作于，依据三角形面积计算公式，即可得到结论；
[结论应用]连接，依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系；
[拓展延伸]依据“如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比”，即可得到与面积之间的关系；
[迁移应用]连接，设，即可得出，，，进而得到．
【详解】
解：[经验发展]如图1，过作于，


，，
，即．
[结论应用]如图2，连接，


，
，
又，
，
，
又的面积为1，
的面积12．
[拓展延伸]如图3，是上任意一点，
，
是上任意一点，
，，
，
即．


[迁移应用]如图4，连接，


是的三等分点，
，
是的中点，
，
设，则，，，
，，
．
故答案为：．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查了三角形的面积公式以及三角形的中线的性质的运用，解决问题的关键是掌握三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分；如果两个三角形的高相同，则他们的面积比等于对应底边的比．
∴S=，
∴原式=．
【点睛】
本题考查了有理数的混合运算，充分理解新定义是解题的关键．